如何从整数范围生成正态分布随机数？

Question

给定整数范围的开始和结束，如何计算该范围之间的正态分布随机整数？

我意识到正态分布会进入-+无穷大。 我猜尾巴可以被截断，所以当计算出的随机数超出范围时，重新计算。 这提高了该范围内整数的概率，但只要这种影响是可以容忍的（<5%），就可以了。

public class Gaussian
{
    private static bool uselast = true;
    private static double next_gaussian = 0.0;
    private static Random random = new Random();

    public static double BoxMuller()
    {
        if (uselast) 
        { 
            uselast = false;
            return next_gaussian;
        }
        else
        {
            double v1, v2, s;
            do
            {
                v1 = 2.0 * random.NextDouble() - 1.0;
                v2 = 2.0 * random.NextDouble() - 1.0;
                s = v1 * v1 + v2 * v2;
            } while (s >= 1.0 || s == 0);

            s = System.Math.Sqrt((-2.0 * System.Math.Log(s)) / s);

            next_gaussian = v2 * s;
            uselast = true;
            return v1 * s;
        }
    }

    public static double BoxMuller(double mean, double standard_deviation)
    {
        return mean + BoxMuller() * standard_deviation;
    }

    public static int Next(int min, int max)
    {
        return (int)BoxMuller(min + (max - min) / 2.0, 1.0); 
    }
}

我可能需要相对于范围缩放标准差，但不明白如何做。

回答：

    // Will approximitely give a random gaussian integer between min and max so that min and max are at
    // 3.5 deviations from the mean (half-way of min and max).
    public static int Next(int min, int max)
    {
        double deviations = 3.5;
        int r;
        while ((r = (int)BoxMuller(min + (max - min) / 2.0, (max - min) / 2.0 / deviations)) > max || r < min)
        {
        }

        return r;
    }

Answer 1

如果 Box-Muller 方法返回“标准”正态分布，则平均值为 0，标准差为 1。要转换标准正态分布，请将随机数乘以 X 以获得标准差 X，然后添加 Y 以获得如果我没记错的话，意思是“Y”。

有关更正式的证明，请参阅维基百科文章中有关规范化标准正态变量（属性 1）的部分 。

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针对您的评论，经验法则是 99.7% 的正态分布将在标准差的 +/- 3 倍之内。 例如，如果您需要从 0 到 100 的正态分布，那么您的平均值将是一半，您的 SD 将为 (100/2)/3 = 16.667。 因此，无论您从 Box-Muller 算法中得到什么值，都可以乘以 16.667 来“拉伸”分布，然后加上 50 使其“居中”。

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约翰，针对您的最新评论，我真的不确定 Next 函数的意义是什么。 它始终使用标准差 1 以及最小值和最大值之间的平均值。

如果您想要 Y 的平均值，其中约 99.7% 的数字在 -X 到 +X 范围内，那么您只需调用 BoxMuller(Y, X/3) 即可。

Answer 2

那么，-2*sigma..+2*sigma 将为您提供 95% 的钟形曲线。
（检查已经提到的维基文章中的“标准偏差和置信区间”部分）。

因此修改这一部分：

return (int)BoxMuller(min + (max - min) / 2.0, 1.0);

并将 1.0（标准差）更改为 2.0（如果您想要超过 95% 的覆盖率，甚至可以更大）

return (int)BoxMuller(min + (max - min) / 2.0, 2.0);