将一个三角形变换为另一个三角形

Question

您好，我正在尝试创建仿射变换，它允许我将一个三角形变换为另一个三角形。 我所拥有的是两个三角形的坐标。 你能帮助我吗？

根据 Adam Rosenfield 的回答，我想出了这段代码，以防有人无聊自己解方程：

public static AffineTransform createTransform(ThreePointSystem source,
            ThreePointSystem dest) {        
    double x11 = source.point1.getX();
    double x12 = source.point1.getY();
    double x21 = source.point2.getX();
    double x22 = source.point2.getY();
    double x31 = source.point3.getX();
    double x32 = source.point3.getY();
    double y11 = dest.point1.getX();
    double y12 = dest.point1.getY();
    double y21 = dest.point2.getX();
    double y22 = dest.point2.getY();
    double y31 = dest.point3.getX();
    double y32 = dest.point3.getY();

    double a1 = ((y11-y21)*(x12-x32)-(y11-y31)*(x12-x22))/
                ((x11-x21)*(x12-x32)-(x11-x31)*(x12-x22));
    double a2 = ((y11-y21)*(x11-x31)-(y11-y31)*(x11-x21))/
                ((x12-x22)*(x11-x31)-(x12-x32)*(x11-x21));
    double a3 = y11-a1*x11-a2*x12;
    double a4 = ((y12-y22)*(x12-x32)-(y12-y32)*(x12-x22))/
                ((x11-x21)*(x12-x32)-(x11-x31)*(x12-x22));
    double a5 = ((y12-y22)*(x11-x31)-(y12-y32)*(x11-x21))/
                ((x12-x22)*(x11-x31)-(x12-x32)*(x11-x21));
    double a6 = y12-a4*x11-a5*x12;
    return new AffineTransform(a1, a4, a2, a5, a3, a6);
}

Answer 1

我假设你在这里谈论的是 2D。 仿射变换矩阵有 9 个值：

    | a1 a2 a3 |
A = | a4 a5 a6 |
    | a7 a8 a9 |

有 3 个输入顶点 x1、x2 和 x3，变换后应变为 y1、y2、y3。 然而，由于我们使用的是齐次坐标，因此将 A 应用于 x1 并不一定会得到 y1 —— 它会给出 y1 的倍数代码>y1。 因此，我们还有未知的乘数 k1、k2 和 k3，其方程为：

A*x1 = k1*y1
A*x2 = k2*y2
A*x3 = k3*y3

其中每一个都是一个向量，所以我们真的有 9 个方程有 12 个未知数，因此解将受到约束。 如果我们要求 a7=0、a8=0 和 a9=1，那么解决方案将是唯一的（这种选择是自然的，因为这意味着如果输入点是 (x, y, 1)，那么输出点将始终具有齐次坐标 1，因此生成的变换只是 2x2 变换加上翻译）。

因此，这将方程简化为：

a1*x11 + a2*x12 + a3 = k1*y11
a4*x11 + a5*x12 + a6 = k1*y12
                   1 = k1
a1*x21 + a2*x22 + a3 = k2*y21
a4*x21 + a5*x22 + a6 = k2*y22
                   1 = k2
a1*x31 + a2*x32 + a3 = k3*y31
a4*x31 + a5*x32 + a6 = k3*y32
                   1 = k3

因此，k1 = k2 = k3 = 1。将这些代入并转换为矩阵形式，得出

| x11 x12   1   0   0   0 |   | a1 |   | y11 |
| x21 x22   1   0   0   0 |   | a2 |   | y21 |
| x31 x32   1   0   0   0 | * | a3 | = | y31 |
|   0   0   0 x11 x12   1 |   | a4 |   | y12 |
|   0   0   0 x21 x22   1 |   | a5 |   | y22 |
|   0   0   0 x31 x32   1 |   | a6 |   | y32 |

：这个 6x6 方程组将为您生成仿射变换矩阵 A。 当且仅当源三角形的 3 个点不共线时，它才会有唯一的解决方案。

Answer 2

嘿，伙计们，不失一般性，让两个三角形以原点作为一个顶点（稍后可以添加仿射移位），这样它们就由点 0、a、b、c、d 定义 然后将你的点 x 乘以矩阵 NM

，其中

M = inverse(a b) <--- 这是带有点 a 的 2x2 矩阵 和 b 作为其列

，并且

N = (c d)

应该可以。

Answer 3

如果我理解正确的话，你的三角形具有相同的大小和角度，所以你应该能够对它们进行变换，使它们（至少）有一个共同点。 此后，它们应该仅在旋转方面有所不同或者可以进行镜像，因此您可以获取三角形线之间的角度并尝试使用这些角度进行旋转，如果没有一个角度起作用，则可以镜像其中一个三角形。

编辑：好的，这还不够，仿射变换还可以包含剪切和缩放...缩放可以很容易完成，只需除以线的长度，这也会为您提供有关三角形相应线的一些信息，但是剪切会更难......

OTOH，你不能为此解决一些方程组吗？ 毕竟，应该有一个变换矩阵和3个点（新的和旧的）......

Answer 4

只需将问题表述为一组方程，然后求解即可：

P1 * M = P1'
P2 * M = P2'
P3 * M = P3'

M 是一个 3x3 矩阵，例如：

[m00, m01, m02;
 m10, m11, m12;
 0  ,   0,   1]

P_i 是一个元组 [k*x_i, k* y_i, k]（齐次坐标）...

您现在可以尝试展开上面显示的 3 个矩阵方程并创建一个新系统，将 m_ij 作为隐喻并求解它，但是如果我没有遗漏某些东西（也许我遗漏了），那么您需要多一点来完全指定转换，否则您将拥有额外的自由度（当然您可以修复它）。