有谁知道如何做“逆” 三线性插值？

Question

三线性插值使用立方体顶点处的值来近似立方体内点 (x, y, z) 的值。 我正在尝试进行“逆”三线性插值。 知道立方体顶点的值和附加到点的值如何找到 (x, y, z)？ 任何帮助将不胜感激。 谢谢你！

Answer 1

您正在给定 1 条数据求解 3 个未知数，并且当您使用线性插值时，您的答案通常是一个平面（2 个自由变量）。 根据立方体的不同，可能没有解或 3D 解空间。

我会做以下事情。 设 v 为初始值。 对于立方体 12 条边（相邻顶点对）中的每条“边”，查看是否有 1 个顶点 >=v，而另一个顶点 <=v - 将此称为与 v 相交的边。

如果没有边与 v 相交，则没有可能的解。

否则，对于每条与 v 相交的边，如果该边的两个顶点都等于 v，则整条边就是一个解。 否则，在边缘上线性插值以找到值为 v 的点。因此假设边缘为 (x1, y1, z1)->v1 <= v <= (x2, y2, z2)-> ；v2。

s = (v-v1)/(v2-v1)
(x,y,z) = (s*(x2-x1)+x1, (s*(y2-y1)+y1, s*(z2-z1)+z1)

这将为您提供等于 v 的所有边缘点。这是一个解决方案，但您可能需要一个内部解决方案 - 请注意，如果存在内部解决方案，则始终会有一个边缘解决方案。

如果你想要一个内部解，那么只需在边缘解之间线性取任意点 - 当你线性插值时，结果也将是 v。

Answer 2

我不确定你可以适用于所有情况。 例如，对颜色使用三线性过滤，其中每个点的每种颜色 (C) 都相同，这意味着无论您在何处进行插值，仍然会返回颜色 C。 在这种情况下，任何 x、y、z 都可能有效。 因此，不可能确切地说出初始插值是什么。

我确信在某些情况下你可以反转数学，但是我想，在很多情况下，如果不了解更多的输入信息，这是不可能做到的。

祝你好运，我希望有人能证明我错了:)

Answer 3

三线性插值的维基百科页面有链接到一个 NASA 页面，据称该页面描述了反转过程 - 您看过吗？

Answer 4

您所描述的问题有些不明确。
您所要求的基本上可以翻译为：我有一个 3D 函数，并且我知道它的 8 个已知点的值。 我想知道函数接收值 V 的点是什么。
问题在于，很可能有无数个这样的点，它们构成一组曲面、线或点，具体取决于数据。
找到该集合的一种方法是使用等曲面算法，例如行进立方体。

Answer 5

让我们从 2d 开始：想象一座占地一平方公里的双线性山，
4 个角的高度为 0 10 20 30
和在高度 z 处切割山的水平面。
从 0 角到 30 角绘制一条线（无论是相邻角还是对角线）。
对于任何 z，平面必须切割这条线，
所以所有点 x,y,z 都落在这条线上，对吧？ 唔。

好吧，有很多解决方案——任何 z 平面都以轮廓曲线切割山。
假设我们希望解决方案分布在整个山上，
即一次最小化两件事：

• 垂直距离 z - bilin(x,y)，
• 从 x,y 到正方形中某个点的距离。

Scipy.optimize.leastsq 是实现此目的的一种方法，示例代码如下；
三线性类似。

（同时优化任何两件事需要任意权衡或权重：
食物与金钱、工作与娱乐……
比照。 有限理性
）

""" find x,y so bilin(x,y) ~ z  and  x,y near the middle """
from __future__ import division
import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq

zmax = 30
corners = [ 0, 10, 20, zmax ]
midweight = 10

def bilin( x, y ):
    """ bilinear interpolate
        in: corners at 0 0  0 1  1 0  1 1 in that order (binary)
        see wikipedia Bilinear_interpolation ff.
    """
    z00,z01,z10,z11 = corners  # 0 .. 1
    return (z00 * (1-x) * (1-y)
        + z01 * (1-x) * y
        + z10 * x * (1-y)
        + z11 * x * y)

vecs = np.array([ (x, y) for x in (.25, .5, .75) for y in (.25, .5, .75) ])
def nearvec( x, vecs ):
    """ -> (min, nearest vec) """
    t = (np.inf,)
    for v in vecs:
        n = np.linalg.norm( x - v )
        if n < t[0]:  t = (n, v)
    return t

def lsqmin( xy ):  # z, corners
    x,y = xy
    near = nearvec( np.array(xy), vecs )[0] * midweight
    return (z - bilin( x, y ), near )
        # i.e. find x,y so both bilin(x,y) ~ z  and  x,y near a point in vecs

#...............................................................................
if __name__ == "__main__":
    import sys
    ftol = .1
    maxfev = 10
    exec "\n".join( sys.argv[1:] )  # ftol= ...
    x0 = np.array(( .5, .5 ))
    sumdiff = 0
    for z in range(zmax+1):
        xetc = leastsq( lsqmin, x0, ftol=ftol, maxfev=maxfev, full_output=1 )
            # (x, {cov_x, infodict, mesg}, ier)
        x,y = xetc[0]  # may be < 0 or > 1
        diff = bilin( x, y ) - z
        sumdiff += abs(diff)
        print  "%.2g  %8.2g  %5.2g %5.2g" % (z, diff, x, y)

print "ftol %.2g maxfev %d midweight %.2g  =>  av diff %.2g" % (
    ftol, maxfev, midweight, sumdiff/zmax)