将法线向量旋转到轴平面上

Question

我在 3D 空间中有一组数据点，它们显然都落在特定的平面上。 我使用 PCA 来计算平面参数。 PCA 的第三个分量给出了平面的法向量（最弱分量）。

接下来我想做的是将所有点变换到所述平面上并以二维方式查看它。

我的想法是执行以下操作：

• 在平面上找到一个中心点（平均点）
• 从所有数据点中减去它，将它们排列在原点周围
• 旋转法线，使其变为 (0,0,-1)
• 将此旋转应用于所有数据点都
• 使用正交投影（基本上，跳过 z 轴）

现在我一直在寻找正确的旋转操作。 我尝试使用 acos 或 atan 并设置两个旋转矩阵。 似乎两种方法（使用 acos、使用 atan）都给了我错误的结果。 也许你可以在这里帮助我！

Matlab 代码如下：

b = atan(n(1) / n(2));
rotb = [cos(b) -sin(b) 0; sin(b) cos(b) 0; 0 0 1];
n2 = n * rotb;
a = atan(n(1) / n(3));
rota = [cos(a) 0 sin(a); 0 1 0; -sin(a) 0 cos(a)];
n3 = n2 * rotaows:

我期望 n2 的 y 分量为零。 然而，对于向量（-0.6367、0.7697、0.0467）来说，这已经失败了。

Answer 1

如果你有一个平面，你就有一个法向量和一个原点。 我根本不会做任何“轮换”。 只需进行一些向量运算即可得到答案。

• 我们将平面的法向量称为新的 z 轴。
• 您可以通过将旧的 x 轴与新的 z 轴（平面的法线）交叉来生成新的 y 轴。
• 通过将新的 z 与新的 y 交叉来生成新的 x 轴。
• 将所有新轴向量变成单位向量（长度为 1）。
• 对于您拥有的每个点，创建一个从新原点到该点的向量（点的向量减去 -plane_origin）。 只需用新的 x 和新 y 单位向量点，你就得到一对 (x,y)，你可以绘制！

如果您已经有了叉积和点积函数，那么这只是几行代码。 我知道它是有效的，因为我编写的大多数 3D 视频游戏都是这样工作的。

技巧：

• 注意向量指向的方向。 如果它们指向错误的方向，则对所得向量取反或更改叉积的顺序。
• 如果您的平面法线与原始 x 轴完全相同，则会遇到麻烦。

Answer 2

怎么样：

将法线向量分解为 XY 平面上的向量和 Z 向量。 然后绕 Z 轴旋转，使 XY 向量与其中一个轴对齐。 然后找到法线与 Z 轴的点积，并沿着您所对齐的 X、Y 中的任意一个旋转。

这个想法是将法线向量与 Z 对齐，这样你的平面现在就是 XY 平面。

Answer 3

这是用 Python 做出的公认答案：

import numpy as np

def rotate(points, normal, around):
  # Let's rotate the points such that the normal is the new Z axis
  # Following https://stackoverflow.com/questions/1023948/rotate-normal-vector-onto-axis-plane
  old_x_axis = np.array([1, 0, 0])

  z_axis = normal
  y_axis = np.cross(old_x_axis, z_axis)
  x_axis = np.cross(z_axis, y_axis)
  
  axis = np.stack([x_axis, y_axis, z_axis])

  return np.dot(points - around, axis.T)

points = np.array([
    [0, 1, 1],
    [0, 1, 0.2],
    [1, 0, -7]
])

v1 = points[1] - points[0]
v2 = points[2] - points[0]

normal = np.cross(v1, v2)
print("rotated points", rotate(points, normal, points[0]))

Answer 4

尽管还有其他有趣的回应，但这是我们在等待答案时找到的解决方案：（

function roti = magic_cosini(n)
    b = acos(n(2) / sqrt(n(1)*n(1) + n(2)*n(2)));
    bwinkel = b * 360 / 2 / pi;
    if (n(1) >= 0)
        rotb = [cos(-b) -sin(-b) 0; sin(-b) cos(-b) 0; 0 0 1];
    else
        rotb = [cos(-b) sin(-b) 0; -sin(-b) cos(-b) 0; 0 0 1];
    end
    n2 = n * rotb;
    a = acos(n2(3) / sqrt(n2(2)*n2(2) + n2(3)*n2(3)));
    awinkel = a * 360 / 2 / pi;
    rota = [1 0 0; 0 cos(-a) -sin(-a); 0 sin(-a) cos(-a)];
    roti = rotb * rota;

它返回一个希望正确的双旋转矩阵）

我们之前遇到并在这里修复的缺陷是特别是。 处理 X 分量的符号，余弦计算中未涵盖该符号。 这让我们旋转了一次错误的方向（旋转180°-角度）。

我希望我也能抽出时间尝试Nosredna的解决方案！ 避免使用三角学总是好的。