什么是“二进制补码”？

Question

我正在学习计算机系统课程，并且一直在挣扎，部分原因是二进制补码。 我想理解它，但我读过的所有内容都没有为我提供完整的图片。 我已阅读维基百科文章和各种其他文章，包括我的教科书。

什么是二进制补码，我们如何使用它以及它如何在强制转换（从有符号到无符号，反之亦然）、按位运算和位移运算等操作中影响数字？

Answer 1

二进制补码是一种存储整数的巧妙方法，因此常见的数学问题很容易实现。

要理解，您必须考虑二进制中的数字。

它基本上是说，

• 对于零，使用全 0。
• 对于正整数，开始向上计数，最大为 2^{（位数 - 1）}-1。
• 对于负整数，做完全相同的事情，但交换 0 和 1 的角色并倒数（因此不是从 0000 开始，而是从 1111 开始 - 这是“补数”部分）。

让我们尝试使用 4 位的迷你字节（我们将其称为 半字节 - 1 /2 一个字节）。

• 0000 - 零
• 0001 - 一
• 0010 - 两个
• 0011 - 三
• 0100 到 < code>0111 - 四到七

这是我们所能得出的积极结果。 2³-1 = 7.

对于负数：

• 1111 - 负一
• 1110 - 负二
• 1101 - 负三
• 1100 到 1000 - 负四到负八

请注意，对于负数，您会得到一个额外的值 (1000 = -8)，而您没有为了积极的一面。 这是因为 0000 用于表示零。 这可以被视为计算机的数轴。

区分正数和负数

这样做时，第一位将扮演“符号”位的角色，因为它可用于区分非负十进制值和负十进制值。 如果最高有效位是1，则二进制可以说是负数，如果最高有效位（最左边）是0，则可以说小数值是非负的。

"Sign-magnitude" 负数只是将正数的符号位翻转，但是这种方法必须将 1000（一个 1 后跟所有 0）解释为“负零”，这很令人困惑。

“个数补码” 负数只是其正数的位补码，还会导致与 1111 （全一）混淆的“负零”。

除非您的工作非常接近硬件，否则您可能不需要处理补码或符号数值整数表示。

Answer 2

我想知道是否可以比维基百科文章更好地解释它。

您试图用二进制补码表示解决的基本问题是存储负整数的问题。

首先，考虑以 4 位存储的无符号整数。 您可以将以下

0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
...
1111 = 15

内容设为无符号，因为没有指示它们是负数还是正数。

符号大小和多余符号

要存储负数，您可以尝试多种方法。 首先，您可以使用符号幅度表示法，将第一位指定为符号位来表示 +/-，并将其余位指定为表示幅度。 所以再次使用 4 位并假设 1 表示 - 且 0 表示 + 那么你就得到了

0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
...
1000 = -0
1001 = -1
1111 = -7

所以，你看到问题所在了吗？ 我们有正0和负0。更大的问题是二进制数的加法和减法。 使用符号幅度进行加法和减法的电路将非常复杂。

什么是

0010
1001 +
----

？

另一个系统是 多余的符号。 您可以存储负数，摆脱两个零的问题，但加法和减法仍然很困难。

因此随之而来的是二进制补码。 现在您可以存储正整数和负整数并相对轻松地执行算术运算。 有多种方法可以将数字转换为二进制补码。 这是一个。

将十进制转换为二进制补码

1. 将数字转换为二进制（暂时忽略符号）
   例如 5 是 0101，-5 是 0101

2. 如果该数字是正数，则完成。
   例如，使用二进制补码表示法，5 是二进制的 0101。

3. 如果数字为负数，则

   3.1 求补码（反转 0 和 1）
   例如 -5 是 0101，所以求补码是 1010

   3.2 补码 1010 + 1 = 1011 加 1。
   因此，-5 的补码为 1011。

那么，如果您想用二进制表示 2 + (-3) 该怎么办？ 2+(-3) 是-1。
如果您使用符号幅度来添加这些数字，您需要做什么？ 0010 + 1101 = ？

考虑一下使用二进制补码是多么容易。

 2  =  0010
 -3 =  1101 +
 -------------
 -1 =  1111

将二进制补码转换为十进制

将 1111 转换为十进制：

1. 该数字以 1 开头，因此它是负数，因此我们找到 1111 的补码，即 0000。

2. 0000加1，我们得到0001。

3. 将 0001 转换为十进制，即 1。

4. 应用符号 = -1。

田田！

Answer 3

与我见过的大多数解释一样，上面的解释很清楚如何使用 2 的补码，但并没有真正从数学角度解释它们的含义。 我将尝试这样做，至少对于整数，并且我将首先介绍一些可能熟悉的背景知识。

回想一下十进制的用法：
  2345
是一种书写方式
  2 × 10 ³ + 3 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰。

同样，二进制是一种仅使用 0 和 1 编写数字的方式，遵循相同的总体思路，但用 2 替换上面的 10。 那么在二进制中，
  1111
是一种书写方式
  1 × 2^{3 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
如果计算出来，结果等于 15（以 10 为底）。 那是因为它是
  8+4+2+1 = 15。}

对于正数来说，这一切都很好。 如果您愿意在负数前面添加一个减号，它甚至适用于负数，就像人类对十进制数所做的那样。 这甚至可以在计算机中完成，但自 20 世纪 70 年代初以来我还没有见过这样的计算机。 我将留下不同讨论的原因。

对于计算机来说，使用补码表示负数会更有效。 这是经常被忽视的事情。 补码表示法涉及数字数字的某种反转，甚至是正常正数之前的隐含零。 这很尴尬，因为问题出现了：所有这些？ 这可能是无数个需要考虑的数字。

幸运的是，计算机并不代表无穷大。 数字被限制为特定的长度（或宽度，如果您愿意）。 因此，让我们回到正二进制数，但具有特定的大小。 对于这些示例，我将使用 8 位数字（“位”）。 所以我们的二进制数实际上是
  00001111
或
  0 × 2⁷ + 0 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 0 × 2 ⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2 ¹ + 1 × 2⁰

要形成 2 的补码负数，我们首先对所有（二进制）数字进行补码以形成
   11110000
加1形成
  11110001
但是我们如何理解它的意思是-15呢？

答案是我们改变高位（最左边的一位）的含义。 对于所有负数，该位都是1。 更改将更改其对其出现的数字值的贡献的符号。因此现在我们的 11110001 被理解为代表
  -1 × 2⁷ + 1 × 2⁶ + 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰
注意前面的“-”表达？ 这意味着符号位的权重为-2⁷，即-128（基数为10）。 所有其他位置保留与无符号二进制数相同的权重。

算出我们的 -15，它是
  -128 + 64 + 32 + 16 + 1
在计算器上试试。 是-15。

在我所看到的计算机中表示负数的三种主要方式中，2 的补码在一般使用中很方便。 不过，它有一个奇怪之处。 由于它是二进制的，因此必须有偶数个可能的位组合。 每个正数都可以与其负数配对，但只有一个零。 否定零就等于零。 因此，还有一种组合，即符号位中带有 1 且其他位置带有 0 的数字。 相应的正数不适合正在使用的位数。

这个数字更奇怪的是，如果你尝试通过补一和加一来形成它的正数，你会得到相同的负数。 零似乎很自然地会做到这一点，但这是意想不到的，而且根本不是我们习惯的行为，因为除了计算机之外，我们通常认为数字的无限供应，而不是这种固定长度的算术。

这就像怪事的冰山一角。 表面之下还有更多的事情等待着，但这对于本次讨论来说已经足够了。 如果您研究定点运算的“溢出”，您可能会发现更多信息。 如果你真的想深入研究，你也可以研究“模算术”。

Answer 4

2的补码对于查找二进制值非常有用，但是我想到了一种更简洁的方法来解决这样的问题（从未见过其他人发布它）：

采用二进制，例如：1101，它是[假设空间“1”是符号]等于-3。

使用 2 的补码，我们可以这样做...将 1101 翻转到 0010...添加 0001 + 0010 ===> 给我们 0011。正二进制的 0011 = 3。因此 1101 = -3！

我意识到：

您可以使用解决正二进制（假设 0101）的基本方法，而不是所有翻转和添加，即 (2 ³ * 0) + (2² * 1) + (2¹ * 0) + (2⁰ * 1) = 5.

用否定做完全相同的概念！（稍作改动）

以 1101 为例：

第一个数字代替 2³ * 1 = < strong>8 ，执行 -(2³ * 1) = -8。

然后照常继续，执行 -8 + (2² * 1) + (2¹ * 0) + (2⁰ * 1) = -3

Answer 5

想象一下，您有有限数量的位/字符/数字/任何东西。 你将 0 定义为所有数字都为 0，然后自然向上计数：

00
01
02
..

最终你会溢出。

98
99
00

我们有两位数字，可以表示从 0 到 100 的所有数字。所有这些数字都是正数！ 假设我们也想表示负数？

我们真正拥有的是一个循环。 2之前的数字是1。1之前的数字是0。0之前的数字是...99。

因此，为简单起见，我们假设任何超过 50 的数字都是负数。 “0”到“49”代表0到49。“99”是-1，“98”是-2，...“50”是-50。

这种表示法是十的补码。 计算机通常使用二进制补码，除了使用位而不是数字之外，其他都是相同的。

十补码的好处是加法可以正常工作。 您不需要做任何特殊的事情来添加正数和负数！

Answer 6

我使用里程表在 Reddit 上在 Reddit 上读到了一篇很棒的解释作为一个类比。

这是一个有用的约定。 相同的电路和逻辑运算
二进制正数加/减仍然适用于正数
如果使用约定则为负数，这就是为什么它如此
有用且无所不在。

想象一下汽车的里程表，它会在（比如说）99999 处滚动。如果你
递增 00000，得到 00001。如果递减 00000，得到 99999
（由于滚动）。 如果你在 99999 上加一，它就会回到
00000。因此确定 99999 代表 -1 很有用。 同样，确定 99998 代表 -2 等也非常有用。 你有
停在某处，并且按照惯例，停在数字的上半部分
被视为负数（50000-99999），下半部分为正数
只代表自己（00000-49999）。 结果，最高位的数字
5-9表示所表示的数为负数，0-4表示所表示的数
表示所表示的是正数 - 与最高位完全相同
表示二进制补码二进制数中的符号。

理解这一点对我来说也很难。 一旦我得到它并返回
重新阅读书籍文章和解释（没有互联网
那时），事实证明很多描述它的人并没有真正做到这一点
明白它。 之后我确实写了一本教汇编语言的书
那个（十年来卖得很好）。

Answer 7

给定数的第一个补数加上一即可得出二补数。
假设我们必须找出 10101 的二进制补码，然后找到它的补码，即 01010 将 1 添加到这个结果，即，01010+1=01011，这就是最终的答案。

Answer 8

让我们使用 8 位以二进制形式得到答案 10 – 12：
我们真正要做的是 10 + (-12)

我们需要得到 12 的补数部分，以便从 10 中减去它。
12 的二进制为 00001100。
二进制的 10 是 00001010。

为了得到 12 的补码部分，我们只需反转所有位，然后加 1。
12 的二进制反转后是 11110011。这也是反码（补码）。
现在我们需要加一，现在是 11110100。

所以 11110100 是 12 的补数！ 当你这样想的时候就很容易了。

现在你可以用二进制形式解决上面的 10 - 12 问题。

00001010
11110100
-----------------
11111110  

Answer 9

到目前为止，许多答案很好地解释了为什么用二进制补码来表示负数，但没有告诉我们二进制补码是什么，特别是没有告诉我们为什么添加“1”，而且实际上经常以错误的方式添加。

造成混乱的原因是对补数定义的理解不足。 补语是使某件事变得完整的缺失部分。

根据定义，基数 b 中 n 位数字 x 的基数补为 b^nx。

在二进制中，4 由 100 表示，它有 3 位数字 (n=3)，基数为 2 (b=2)。 所以它的基数补码是b^nx = 2^3-4=8-4=4（或二进制的100）。

然而，在二进制中获得基数的补码并不像获得其减基补码那么容易，减基补码定义为(b^n-1)-y，仅比基数补码少1。 要获得减基数补码，只需翻转所有数字即可。

100-> 011（减（一）基数补码）

要获得基（二）补码，我们只需加 1，如定义所定义。

011 +1 ->100（二进制补码）。

现在有了这个新的理解，让我们看一下 Vincent Ramdhanie 给出的示例（见上面第二个回复）：

将 1111 转换为十进制：

这个数字是从1开始的，所以它是负数，所以我们找到1111的补码，即0000。
0000 加 1，得到 0001。
将 0001 转换为十进制，即 1。
应用符号 = -1。
多田！

应该理解为：

数字是从1开始的，所以是负数。 所以我们知道它是某个值 x 的二进制补码。 为了找到由其补码表示的 x，我们首先需要找到其补码。

x 的二进制补码：1111
x的补码：1111-1→1110；
x = 0001，（翻转所有数字）

应用符号 -，答案 =-x =-1。

Answer 10

从数学的角度来看补码系统，这确实很有意义。 在十的补码中，这个想法本质上是“隔离”差异。

示例：63 - 24 = x

我们添加 24 的补码，实际上就是 (100 - 24)。 所以实际上，我们所做的只是在等式两边加上 100。

现在等式是：100 + 63 - 24 = x + 100，这就是为什么我们删除 100（或 10 或 1000 或其他）。

由于必须从一长串零中减去一个数字的不方便情况，我们使用“减基数补码”系统，在十进制系统中，即九的补码。

当我们看到从一大串 9 中减去一个数字时，我们只需要将数字反转即可。

示例：99999 - 03275 = 96724

这就是原因，在九的补码之后，我们添加 1。正如您可能从童年数学中知道的那样，通过“偷”1，9 变成了 10。所以基本上，这只是十的补码从差值中取 1。

在二进制中，二的补码等于十的补码，而一的补码等于九的补码。 主要区别在于，我们不是尝试用 10 的幂来隔离差异（在方程中添加 10、100 等），而是尝试用 2 的幂来隔离差异。

正是出于这个原因，我们反转了这些位。 就像我们的被减数是十进制中的一串九一样，我们的被减数也是二进制中的一串。

示例：111111 - 101001 = 010110

因为 1 链的值小于 2 的幂，所以它们从差值中“窃取”1，就像十进制中的 9 一样。

当我们使用负二进制数时，我们实际上只是在说：

0000 - 0101 = x

1111 - 0101 = 1010

1111 + 0000 - 0101 = x + 1111

为了“隔离”x，我们需要加 1，因为 1111 是 1远离 10000，我们删除前导 1，因为我们只是将其添加到原始差值中。

1111 + 1 + 0000 - 0101 = x + 1111 + 1

10000 + 0000 - 0101 = x + 10000

两边去掉 10000 就得到 x，这是基本代数。

Answer 11

补充这个词源自完整性。 在十进制世界中，数字 0 到 9 提供了数字或数字符号的补码（完整集）来表示所有十进制数字。 在二进制世界中，数字 0 和 1 提供了数字的补码来表示所有二进制数。 事实上，符号 0 和 1 必须用来表示一切（文本、图像等）以及正（0）和负（1）。
在我们的世界中，数字左侧的空格被视为零：

                  35=035=000000035.

在计算机存储位置中没有空格。 所有位（二进制数字）必须为 0 或 1。为了有效地使用存储器，数字可以存储为 8 位、16 位、32 位、64 位、128 位表示形式。 当存储为 8 位数字的数字传输到 16 位位置时，符号和大小（绝对值）必须保持相同。 1 的补码和 2 的补码表示法都有助于实现这一点。
作为名词：
1 的补码和 2 的补码都是有符号量的二进制表示形式，其中最高有效位（左边的那个）是符号位。 0 代表正，1 代表负。
2的补数并不意味着负数。 这意味着有签名的数量。 与十进制一样，大小表示为正数。 当提升到具有更多位的寄存器 [] 时，该结构使用符号扩展来保留数量：

       [0101]=[00101]=[00000000000101]=5 (base 10)
       [1011]=[11011]=[11111111111011]=-5(base 10)

作为动词：
2的补码意味着否定。 这并不意味着消极。 这意味着如果负数变为正数； 如果为正，则为负。 幅度是绝对值：

        if a >= 0 then |a| = a
        if a < 0 then |a| = -a = 2scomplement of a

此功能允许使用先取后加的方式进行高效的二进制减法。
a - b = a + (-b)

获取 1 的补码的官方方法是用 1 减去每个数字的值。

        1'scomp(0101) = 1010.

这与单独翻转或反转每个位相同。 这会导致负零，但人们不太喜欢这种负零，因此在 1 的补码上加 1 就可以解决这个问题。
要取反或取 2 的补码，首先取 1 的补码，然后加 1。

        Example 1                             Example 2
         0101  --original number              1101
         1's comp  1010                       0010
         add 1     0001                       0001
         2's comp  1011  --negated number     0011

在示例中，求反也适用于符号扩展数。

添加：
1110 进位 111110 进位
0110 与 000110 相同
1111 111111
sum 0101 sum 000101

减法：

    1110  Carry                      00000   Carry
     0110          is the same as     00110
    -0111                            +11001
  ----------                        ----------
sum  0101                       sum   11111

请注意，在使用 2 的补码时，数字左侧的空格对于正数用 0 填充，而对于负数则用 1 填充。 进位总是相加，并且必须是 1 或 0。

干杯

Answer 12

2 的补码本质上是一种得出二进制数的加法逆元的方法。 问问自己：给定一个二进制形式的数字（存在于固定长度的内存位置），当将什么位模式添加到原始数字（位于固定长度的内存位置）时，会使结果全为零？ （在相同的固定长度存储位置）。 如果我们能想出这个位模式，那么该位模式将是原始数字的 -ve 表示（加法逆）； 因为根据定义，将数字添加到其加法逆元总是会导致零。 示例：取 5，它是单个 8 位字节中存在的 101。 现在的任务是想出一个位模式，当添加到给定的位模式（00000101）时，将导致用于保存该 5 的内存位置全为零，即所有 8 位该字节应该为零。 为此，从 101 的最右边的位开始，对于每个单独的位，再次询问相同的问题：我应该将哪一位添加到当前位以使结果为零？ 考虑到通常的结转，继续这样做。 当我们处理完最右边的 3 个位置（定义原始数字的数字，不考虑前导零）后，最后一个进位将采用加法逆元的位模式。 此外，由于我们将原始数字保存在单个 8 位字节中，因此加法逆元中的所有其他前导位也应该为 1，以便（这很重要）当计算机添加“数字”（使用 8 表示）时位模式）及其使用“该”存储类型（字节）的加法逆，该字节中的结果将全为零。

 1 1 1
 ----------
   1 0 1
 1 0 1 1 ---> additive inverse
  ---------
   0 0 0

Answer 13

我喜欢拉维尼奥的答案，但移位会增加一些复杂性。 通常可以选择在尊重符号位或不尊重符号位的情况下移动位。 这是将数字视为有符号数字（半字节为 -8 到 7，字节为 -128 到 127）或全范围无符号数字（半字节为 0 到 15，字节为 0 到 255）之间的选择。

Answer 14

这是一种对负整数进行编码的巧妙方法，即为负整数保留大约一半的数据类型位组合，并且将大多数负整数与其相应的正整数相加会导致进位溢出这使得结果为二进制零。

因此，在 2 的补码中，如果 1 为 0x0001，则 -1 为 0x1111，因为这将导致总和为 0x0000（溢出为 1）。

Answer 15

2 的补码：当我们将一个数的 1 的补码加上一个额外的 1 时，我们将得到 2 的补码。 例如：100101，1的补码是011010，2的补码是011010+1 = 011011（1的补码加1）了解更多信息
这篇文章用图解的方式解释了它。

Answer 16

二进制补码是表示负数的方式之一，并且大多数控制器和处理器以二进制补码形式存储负数。

Answer 17

使用二进制补码主要出于以下原因：

1. 避免 0 的多重表示
2. 避免在溢出时跟踪进位位（如在补码中）。
3. 执行加法和减法等简单运算变得很容易。

Answer 18

简单来说，二进制补码是一种在计算机内存中存储负数的方法。 而正数存储为普通二进制数。

让我们考虑这个例子，

计算机使用二进制数字系统来表示任何数字。

x = 5;

这表示为0101。

x = -5;

当计算机遇到-符号时，它会计算其二进制补码并存储它。

即，5 = 0101，其二进制补码为1011。

计算机处理数字的重要规则是，

1. 如果第一位是1，那么它一定是负数。
2. 如果除了第一位之外的所有位都是0，则它是正数，因为数字系统中没有-0（1000不是-0 code> 相反，它是正 8）。
3. 如果所有位都是0，那么它就是0。
4. 否则它是一个正数。

Answer 19

对一个数进行按位求补就是翻转其中的所有位。 为了对其进行补码，我们翻转所有位并加一。

使用有符号整数的 2 补码表示，我们应用 2 补码运算将正数转换为其等价负数，反之亦然。 因此，以半字节为例，0001 (1) 变为 1111 (-1)，并再次应用该操作，返回 0001。

零运算的行为有利于给出零的单一表示，而无需对正零和负零进行特殊处理。 0000 与 1111 互补，即加 1。 溢出到 0000，给我们一个零，而不是一个正数和一个负数。

这种表示法的一个关键优点是，无符号整数的标准加法电路在应用于它们时会产生正确的结果。 例如，在半字节中添加 1 和 -1：0001 + 1111，这些位会溢出寄存器，留下 0000。

为了进行温和的介绍，精彩的 Computerphile 制作了有关该主题的视频。

Answer 20

问题是“什么是‘二进制补码’？”

对于那些想要从理论上理解它的人（以及我寻求补充其他更实际的答案）的简单答案：2的补码是对偶系统中负整数的表示，不需要额外的字符，例如+和-。

Answer 21

给定数字的补码是用 个补码 加上 1 得到的数字的号码。

假设我们有一个二进制数： 10111001101

它的 1 的补码是： 01000110010

它的 2 的补码是： 01000110011

Answer 22

参考：二进制补码 （Thomas Finley）

我反转所有位并添加 1。以编程方式：

  // In C++11
  int _powers[] = {
      1,
      2,
      4,
      8,
      16,
      32,
      64,
      128
  };

  int value = 3;
  int n_bits = 4;
  int twos_complement = (value ^ ( _powers[n_bits]-1)) + 1;

Answer 23

我读过的所有内容都没有让我明白

正数从 1 开始，然后递增。 负数从顶部开始向下。

仅此而已。 没有什么需要理解的了。 剩下的只是数学和硬件。

这个系统的优点（对于有限的数字）：加法有效。 +1 加 -1 = 0

这是一个有限位数字（8 位、16 位、32 位等）的系统，因为负数开始的地方必须有一个“顶部”，而且加法有时会生成一个 '进出下一列，或者从下一列进出，当没有下一列进出时，它会被神奇地丢弃。

16 位十六进制：正数从 1 开始，一直到 0x7FFF。 负数从 0xFFFF 开始，一直到 8000。

4 位二进制：正数从 0001 开始，一直到 0111。负数从 1111 开始，一直到 1000

3 位二进制，负数：

111 = -1
110 = -2
101 = -3
100 = -4

加法示例：

11+01 = 100 = 00 (2 bit answer)
110 + 001 = 111 (3 bits: -2 + 1 = -1)
111 + 011 = 1010 = 010 (3 bits: -1+3 = 2)

您可以计算如果您愿意，可以使用数字的二进制补码（补码 + 1），但您不必这样做来使用二进制补码，就像使用正数一样：您可以学习使用相同的表示形式就像你对正数所做的那样。 1 为正数。 11111111 是负数。 FFFF 是负数。 FFFE 为负数 2。FFFD 为负数 3。

您有时会看到对二进制补码的解释为“避免零表示的问题”，但这实际上只是硬件设计者使用二进制补码原因的一个特例：加法就可以了。

除了“从顶部开始向下”之外，还有其他表示负数的方法。 我还使用过有两个符号位或两个独立寄存器的系统，一个用于 + 数字，一个用于 - 数字，或者符号位代表单侧向上计数 ADC 前面的反相器的状态。 当人们第一次开始设计计算机硬件时，并不清楚“从顶部开始倒数”是否是负数的最佳表示。 但它使加法变得容易，这是一个胜利者。

Answer 24

最简单的答案：

1111 + 1 = (1)0000。 所以1111一定是-1。 那么-1 + 1 = 0。

对我来说理解这些都是完美的。