如何以 10 以外的基数计算浮点数？

Question

鉴于维基百科关于 Radix Point 的文章，如何计算 10.1 的二进制等值或十六进制等值17.17？ 对于前者，十分之一的二进制相当于多少？ 对于后者，17/100 的十六进制表示？

我更多的是寻找一种算法，而不是这两个例子的解决方案。

Answer 1

要将十进制 10.1 转换为二进制，请将整数部分和小数部分分开并分别进行转换。

要转换整数部分，请使用重复的整数除以 2，然后以相反的顺序写入余数：

10/2 = 5 余数 0

5/2 = 2 余数 1

2/2 = 1 余数 0

1/2 = 0 余数 1

答案： 1010

要转换小数部分，请重复乘以 2，每一步减去整数部分。 整数部分按生成顺序表示二进制数：

0.1 * 2 = 0.2

0.2 * 2 = 0.4

0.4 * 2 = 0.8

0.8 * 2 = 1.6

0.6 * 2 = 1.2

0.2 * 2 = 0.4

0.4 * 2 = 0.8

。 ..（循环永远重复）

所以十进制 0.1 是二进制 0.000110011001100...

（有关更详细的解释，请参阅我的文章中的例程 dec2bin_i() 和 dec2bin_f() http://www.exploringbinary.com/base-conversion-in-php-using-bcmath/ 。）

对于十六进制，使用相同的过程，除了除数/乘数为 16 而不是 2。大于 9 的余数和整数部分必须直接转换为十六进制数字：10 变为 A，11 变为 B，...，15 变为 F。

Answer 2

该算法非常简单，但实际上您可以使用查找表和日志进行大量调整以加快速度。
但对于基本算法，您可以尝试这样的操作：

shift=0;

while v>=base,  v=v/base, shift=shift+1;  

Next digit: 
if v<1.0 && shift==0, output the decimal point
else 
   D=floor(v)
   output D
   v=v-D
v=v*base
shift = shift-1
if (v==0) exit;
goto Next Digit

您还可以在那里进行测试，以在 N 位数字后停止打印更长的重复小数。

Answer 3

以 b₁ 为基数的终止数（可以用有限位数表示的数字） n₁，可能最终成为不同的非终止数以 b₂ 为底。 相反，一个基数 b₁ 中的非终止数可能会成为基数 b₂ 中的终止数。

数字 0.1₁₀ 转换为二进制时是非终止数字，转换为十六进制数字时 0.17₁₀ 也是非终止数字。 但是以 3 为基数的终止数字 0.1₃，当转换为以 10 为基数时，就是非终止的重复数字 0.(3)₁₀（表示数字 3 重复） ）。 类似地，将 0.1₁₀ 转换为二进制，将 0.17₁₀ 转换为十六进制，最终得到非终止的重复数字 0.0(0011)₂和 0.2(B851E)₁₆

因此，当将这样的数字从一种基数转换为另一种基数时，您可能会发现自己必须近似该数字，而不是完全准确的表示形式。

Answer 4

十分之一的“二进制等价物”是二分之一，即不是 1/10^1，而是 1/2^1。

每个数字代表 2 的幂。 小数点后面的数字是相同的，只是它们代表 1 的 2 的幂：

 8 4 2 1 . 1/2 1/4 1/8 1/16 

因此对于 10.1，您显然需要一个“8”和一个“2”来组成 10 部分。 1/2 (0.5) 太多，1/4 (0.25) 太多，1/8 (0.125) 太多。 我们需要 1/16 (0.0625)，这样我们就剩下 0.0375。 1/32 是 0.03125，所以我们也可以这样取。 到目前为止我们有：

 8 4 2 1 . 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32
 1 0 1 0    0   0   0   1     1

误差为 0.00625。 1/64 (0.015625) 和 1/128 (0.0078125) 都太大了，1/256 (0.00390625) 可以：

 8 4 2 1 . 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256
 1 0 1 0    0   0   0   1     1    0   0     1

误差为 0.00234375。

.1 不能用二进制精确表示（就像 1/3 不能用十进制精确表示一样）。 根据您放置基数的位置，您最终必须停止（可能是四舍五入）并接受错误。

Answer 5

在我根据我的 GMP 库来解决这个问题之前，我首先要尝试使 Rick Regan 的 PHP 代码对从 2 到 36 的任何基数通用。

Function dec2base_f(ByVal ddecimal As Double, ByVal nBase As Long, ByVal dscale As Long) As String
    Const BASES = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ" 'up to base 36
    Dim digitCount As Long
    Dim wholeNumber As Double
    Dim digit As String * 1
    digitCount = 0
    dscale = max(dscale, Len(CStr(ddecimal)) - Len("0."))
    Dim baseary_f As String
    baseary_f = "0."
    Do While ddecimal > 0 And digitCount < dscale
        ddecimal = ddecimal * nBase
        digit = Mid$(BASES, Fix(ddecimal) + 1)
        baseary_f = baseary_f & digit '"1"
        ddecimal = ddecimal - Fix(ddecimal)
        digitCount = digitCount + 1
    Loop
    dec2base_f = baseary_f
End Function

Function base2dec_f(ByVal baseary_f As String, nBase As Double) As Double
    Const BASES As String = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    Dim decimal_f As Double
    Dim i As Long
    Dim c As Long
    For i = Len(baseary_f) To Len("0.") + 1 Step -1
        c = InStr(BASES, Mid$(baseary_f, i, 1)) - 1
        decimal_f = decimal_f + c
        decimal_f = decimal_f / nBase
    Next
    base2dec_f = decimal_f
End Function

Debug.Print base2dec_f(dec2base_f(0.09, 2, 200), 2) --> 0.09
Debug.Print base2dec_f(dec2base_f(0.09, 8, 200), 8) --> 0.09
Debug.Print base2dec_f(dec2base_f(0.09, 16, 200), 16) --> 0.09