16 位、32 位和 64 位 IEEE-754 系统可以表示什么范围的数字？

Question

我对浮点数的表示方式有所了解，但恐怕还不够。

一般问题是：

对于给定的精度（就我的目的而言，以 10 为基数的精确小数位数），16 位、32 位和 64 位 IEEE-754 系统可以表示什么范围的数字？

具体来说，我只对精确到 +/-0.5（个位）或 +/- 0.0005（千分位）的 16 位和 32 位数字范围感兴趣。

Answer 1

对于给定的 IEEE-754 浮点数 X，

2^E <= abs(X) < 2^(E+1)

如果从 X 到下一个最大可表示浮点数的距离 (epsilon)是：

epsilon = 2^(E-52)    % For a 64-bit float (double precision)
epsilon = 2^(E-23)    % For a 32-bit float (single precision)
epsilon = 2^(E-10)    % For a 16-bit float (half precision)

上述方程允许我们计算以下内容：

• 对于半精度 ...

  如果您想要 +/-0.5（或 2^-1）的精度，则数字的最大大小为 2^10。 任何大于此限制的 X 都会导致浮点数之间的距离大于 0.5。

  如果您想要 +/-0.0005（大约 2^-11）的精度，则数字的最大大小为 1。任何大于此最大限制的 X 都会导致浮点数之间的距离大于 0.0005 .

• 对于单精度...

  如果您想要 +/-0.5（或 2^-1）的精度，则数字的最大大小为 2^23。 任何大于此限制的 X 都会导致浮点数之间的距离大于 0.5。

  如果您想要 +/-0.0005（大约 2^-11）的精度，则数字的最大大小为 2^13。 任何大于此限制的 X 都会导致浮点数之间的距离大于 0.0005。

• 对于双精度...

  如果您想要 +/-0.5（或 2^-1）的精度，则数字的最大大小为 2^52。 任何大于此限制的 X 都会导致浮点数之间的距离大于 0.5。

  如果您想要 +/-0.0005（大约 2^-11）的精度，则数字的最大大小为 2^42。 任何大于此限制的 X 都会导致浮点数之间的距离大于 0.0005。

Answer 2

对于浮点整数（我将根据 IEEE 双精度给出答案），1 到 2^53 之间的每个整数都可以精确表示。 超过 2^53 时，可以精确表示的整数之间的间隔为 2 的递增幂。 例如：

• 2^53 + 2 和 2^54 之间的每个第二个整数都可以精确表示。
• 2^54 + 4 到 2^55 之间的每第 4 个整数都可以精确表示。
• 2^55 + 8 到 2^56 之间的每第 8 个整数都可以精确表示。
• 2^56 + 16 到 2^57 之间的每第 16 个整数都可以精确表示。
• 2^57 + 32 和 2^58 之间的每个第 32 个整数都可以精确表示。
• 2^58 + 64 到 2^59 之间的每一个第 64 个整数都可以精确表示。
• 2^59 + 128 到 2^60 之间的每一个第 128 个整数都可以精确表示。
• 2^60 + 256 到 2^61 之间的每一个第 256 个整数都可以精确表示。
• 2^61 + 512 和 2^62 之间的每一个第 512 个整数都可以精确表示。
  。
  。
  。

不能精确表示的整数将四舍五入到最接近的可表示整数，因此最坏情况的四舍五入是可表示整数之间间距的 ​​1/2。

Answer 3

从 Peter R 到 MSDN 参考文献的链接中精确引用的内容可能是一个很好的经验法则，但现实当然要复杂得多。

“浮点”中的“点”是二进制点而不是小数点，这一事实有悖于我们的直觉。 典型的例子是 0.1，它只需要一位十进制的精度，但根本无法用二进制精确表示。

如果您有一个周末可以打发，请查看每个计算机科学家应该了解什么浮点运算。 您可能会对精度和二进制到十进制转换。

Answer 4

首先，IEEE-754-2008 和 -1985 都没有 16 位浮点数； 但它是一个提议的加法，具有 5 位指数和 10 位分数。 IEE-754使用专用符号位，因此正负范围相同。 此外，分数前面有一个隐含的 1，因此您会得到一个额外的位。

如果您想要精确到个位，就像您可以表示每个整数一样，答案相当简单：指数将小数点移到分数的右端。 因此，10 位分数为 ±2¹¹。

如果您想要小数点后一位，则放弃小数点前一位，因此您有 ±2¹⁰。

单精度有 23 位小数，因此您将拥有 ±2²⁴ 整数。

小数点后需要多少位精度完全取决于您正在执行的计算以及您正在执行的位数。

• 2¹⁰ = 1,024
• 2¹¹ = 2,048
• 2²³ = 8,388,608
• 2²⁴ = 16,777,216
• 2^{53< /sup> = 9,007,199,254,740,992（双精度）}
• 2¹¹³ = 10,384,593,717,069,655,257,060,992,658,440,192（四精度）

另请参阅

• 双精度
• 半精度

Answer 5

请参阅 IEEE 754-1985：

注意（1 + 分数）。 正如 @bendin 指出的，使用二进制浮点数，不能表达简单的十进制值，例如 0.1。 这意味着您可以通过多次执行简单加法或调用截断等操作来引入舍入错误。 如果您对任何类型的精度感兴趣，实现它的唯一方法是使用定点小数，它基本上是一个缩放的整数。

Answer 6

如果我正确理解你的问题，这取决于你的语言。
对于 C#，请查看MSDN 参考。 浮点数有 7 位精度和双 15-16 位精度。

Answer 7

我花了很长时间才弄清楚，在 Java 中使用双精度数时，我并没有损失显着的计算精度。 浮点实际上具有非常好的以相当合理的精度表示数字的能力。 我失去的精度是在将用户输入的十进制数字转换为本机支持的二进制浮点表示形式后立即丢失的。 我最近开始将所有数字转换为 BigDecimal。 BigDecimal 在代码中比浮点数或双精度数要处理的工作要多得多，因为它不是原始类型之一。 但另一方面，我将能够准确地表示用户输入的数字。