简单的递归问题

Question

我正在迈出递归和动态编程的第一步，并且有一个关于形成子问题来建模递归的问题。

问题：

有多少种不同的方法 抛一枚公平的硬币 5 次，没有 连续三个或更多头？

如果有人可以提供一些带有大量注释的代码（Ruby 是首选，但不是必需的）来帮助我实现目标。 如果这很重要的话，我不是学生，这是对 Project Euler 问题的修改，使其对我来说非常简单去把握。 我只需要掌握编写递归公式的技巧。

如果您想将问题抽象为有多少种不同的方法可以抛一枚公平的硬币 Y 次，并且不会连续出现 Z 次或更多次正面，这也可能是有益的。 再次感谢，这个网站很棒。

Answer 1

您可以简单地为此创建一个公式：

抛硬币 5 次且连续出现 3 个正面的方法数等于抛 5 次硬币的组合数减去连续出现至少 3 个正面的组合数。 在这种情况下：

HHH-- (4 combinations)
THHH- (2 combinations)
TTHHH (1 combination)

组合总数 = 2^5 = 32。 且 32 - 7 = 25。

如果我们连续抛硬币 N 次，且没有连续出现 Q 个正面，则总金额为 2^N，并且至少有Q 个头为 2^(N-Q+1)-1。 所以一般的答案是：

Flip(N,Q) = 2^N - 2^(N-Q+1) +1

当然可以用递归来模拟总量：

flipme: N x N -> N
flipme(flipsleft, maxhead) = flip(flipsleft, maxhead, 0)

flip: N x N x N -> N
flip(flipsleft, maxhead, headcount) ==
  if flipsleft <= 0 then 0
  else if maxhead<=headcount then 0
  else 
    flip(flipsleft - 1, maxhead, headcount+1) + // head
    flip(flipsleft - 1, maxhead, maxhead)       // tail  

Answer 2

这是我在 Ruby 中的解决方案

def combination(length=5)
  return [[]] if length == 0
  combination(length-1).collect {|c| [:h] + c if c[0..1]!= [:h,:h]}.compact +
  combination(length-1).collect {|c| [:t] + c }
end

puts "There are #{combination.length} ways"

所有递归方法都从早期结束的情况开始。

return [[]] if length == 0

这返回一个组合数组，其中唯一长度为零的组合是 []

下一位（简化的）是...

combination(length-1).collect {|c| [:h] + c } +
combination(length-1).collect {|c| [:t] + c }

所以..这说的是..我想要所有比所需的长度，每个都添加一个 :head...加上所有较短的组合，并添加一个尾部。

考虑递归的方法是..“假设我有一种方法来执行 n-1 情况..我必须添加什么才能使其覆盖 n 情况”。 对我来说，这感觉就像归纳证明。

该代码将生成给定长度的所有头和尾的组合。

我们不想要那些有 :h :h :h 的。 只有当我们有 :h :h 并且我们添加 :h 时才会发生这种情况。 所以...我在添加 :h 时添加了 if c[0..1] != [:h,:h] ，这样它将返回 nil当它要进行无效组合时，而不是数组。

然后我必须压缩结果以忽略所有nil结果

Answer 3

这不是采取所有可能的 5 位序列并删除存在三个连续 1 位的情况（假设 1 = 头，0 = 尾）的问题吗？

Answer 4

这是在 Python 中执行此操作的一种方法：

#This will hold all possible combinations of flipping the coins. 
flips = [[]]
for i in range(5):
    #Loop through the existing permutations, and add either 'h' or 't' 
    #to the end. 
    for j in range(len(flips)):
        f = flips[j]
        tails = list(f)
        tails.append('t')
        flips.append(tails)
        f.append('h')

#Now count how many of the permutations match our criteria.
fewEnoughHeadsCount = 0
for flip in flips:
    hCount = 0
    hasTooManyHeads = False
    for c in flip:
        if c == 'h': hCount += 1
        else: hCount = 0
        if hCount >= 3: hasTooManyHeads = True
    if not hasTooManyHeads: fewEnoughHeadsCount += 1

print 'There are %s ways.' % fewEnoughHeadsCount

Answer 5

这可以分解为：

当第一次抛掷正面时，有多少种方法将一枚公平的硬币抛四次；当第一次抛掷是反面时，有多少种方法：

所以在Python中：

HEADS = "1"
TAILS = "0"

def threeOrMoreHeadsInARow(bits):
    return "111" in bits

def flip(n = 5, flips = ""):
   if threeOrMoreHeadsInARow(flips):
      return 0
   if n == 0:
      return 1
   return flip(n - 1, flips + HEADS) + flip(n - 1, flips + TAILS)

Answer 6

这是使用 Ruby yield 语句的递归组合函数：

def combinations(values, n)
  if n.zero?
    yield []
  else
    combinations(values, n - 1) do |combo_tail|
      values.each do |value|
        yield [value] + combo_tail
      end
    end
  end
end

您可以使用正则表达式连续解析出三个头：

def three_heads_in_a_row(s)
  ([/hhh../, /.hhh./, /..hhh/].collect {|pat| pat.match(s)}).any?
end

最后，您将使用类似这样的内容得到答案：

total_count = 0
filter_count = 0

combinations(["h", "t"], 5) do |combo|
  count += 1
  unless three_heads_in_a_row(combo.join)
      filter_count += 1
  end
end

puts "TOTAL: #{ total_count }"
puts "FILTERED: #{ filter_count }"

所以这就是我要做的它 ：）