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使用离散方法计算导数

发布于 2024-07-14 13:43:47 字数 83 浏览 14 评论 0原文

我正在寻找一种使用离散且快速的方法来计算导数的方法。由于现在我不知道方程的类型，因此我正在寻找类似于我们可以找到的积分方法的离散方法，例如欧拉方法。

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一个人的旅程 2024-07-21 13:43:47

我认为您正在寻找以点计算的导数。
如果是这种情况，这里有一个简单的方法可以做到这一点。您需要知道一点的导数，例如a。它由 h->0 的差商极限给出：

$difference quotient$

你实际上需要实现 limit 函数。所以你：

定义一个epsilon，设置得越小越精确，设置越大越快
计算起始h中的差商，假设h=0.01，将其存储在f1
现在DO-WHILE 循环：
1- 将 h 除以 2（或除以 10，重要的是使其更小）
2-再次计算与h的新值的差商，将其存储在f2
3-设置diff = abs(f2-f1)
4-分配f1 = f2
5- 从点 1 开始重复 while (diff>epsilon)
您最终可以返回 f1 （或 f2）作为 f'(a) 的值

记住：
您假设该函数在 a 中可微。
由于计算机可以处理的有限十进制数字的错误，您得到的每个结果都将是错误的，这是无法避免的。

python 中的示例：

def derive(f, a, h=0.01, epsilon = 1e-7):
    f1 = (f(a+h)-f(a))/h
    while True: # DO-WHILE
        h /= 2.
        f2 = (f(a+h)-f(a))/h
        diff = abs(f2-f1)
        f1 = f2
        if diff<epsilon: break
    return f2

print "derivatives in x=0"
print "x^2: \t\t %.6f" % derive(lambda x: x**2,0)
print "x:\t\t %.6f" % derive(lambda x: x,0)
print "(x-1)^2:\t %.6f" % derive(lambda x: (x-1)**2,0)

print "\n\nReal values:"
print derive(lambda x: x**2,0)
print derive(lambda x: x,0)
print derive(lambda x: (x-1)**2,0)

输出：

derivatives in x=0
x^2:         0.000000
x:       1.000000
(x-1)^2:     -2.000000


Real values:
7.62939453125e-08
1.0
-1.99999992328

由于仅使用结果的前 6 位数字，我第一次得到“精确”值，请注意我使用 1e-7 作为 epsilon。之后将打印 REAL 计算值，并且它们epsilon 的大小显然在数学上是错误的。

I think you are looking for the derivative calculated in a point.
If this is the case, here there is a simple way to do that. You need to know the derivative in a point, say a. It is given by the limit of the difference quotient for h->0:

$difference quotient$

You actually need to implement the limit function. So you:

Define an epsilon, set it more small to be more precise, bigger to be faster
calculate the difference quotient in a starting h, suppose h=0.01, store it in f1
Now in a DO-WHILE loop:
1- divide h by 2 (or by 10, the important thing is to make it smaller)
2- calculate again the difference quotient with the new value of h, store this in f2
3- set diff = abs(f2-f1)
4- assign f1 = f2
5- repeat from point 1 while (diff>epsilon)
You can finally return f1 (or f2) as the value of your f'(a)

Remember:
You are assuming the function is differentiable in a.
Every result you will get will be wrong due of errors of the finite decimal digit your computer can handle, there is no escape from this.

Example in python:

def derive(f, a, h=0.01, epsilon = 1e-7):
    f1 = (f(a+h)-f(a))/h
    while True: # DO-WHILE
        h /= 2.
        f2 = (f(a+h)-f(a))/h
        diff = abs(f2-f1)
        f1 = f2
        if diff<epsilon: break
    return f2

print "derivatives in x=0"
print "x^2: \t\t %.6f" % derive(lambda x: x**2,0)
print "x:\t\t %.6f" % derive(lambda x: x,0)
print "(x-1)^2:\t %.6f" % derive(lambda x: (x-1)**2,0)

print "\n\nReal values:"
print derive(lambda x: x**2,0)
print derive(lambda x: x,0)
print derive(lambda x: (x-1)**2,0)

Output:

derivatives in x=0
x^2:         0.000000
x:       1.000000
(x-1)^2:     -2.000000


Real values:
7.62939453125e-08
1.0
-1.99999992328

The first time I've got "precise" value" because of using only the first 6 digits of the result, note I used 1e-7 as epsilon. The REAL calculated values are printed after that, and they are obviously mathematically wrong. The choose of how small epsilon is depends on how precise you want your results to be.

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抱猫软卧 2024-07-21 13:43:47

在计算数值（“有限”）导数方面有相当多的理论（和既定实践）。确保所有细节正确，让您相信结果，这并非易事。如果有任何方法可以获得该函数的分析导数（使用笔和纸，或计算机代数系统，例如 Maple ，Mathematica，Sage，或 SymPy），这是由迄今为止最好的选择。

如果您无法获得解析形式，或者您不知道函数（只是它的输出），那么数值估计是您唯一的选择。 C 语言数值复习中的章节是一个好的开始。

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慈悲佛祖 2024-07-21 13:43:47

一个简单的方法是计算您感兴趣的导数的每个点的 f 对小值的变化。例如，要计算 ∂f/∂x，您可以使用以下方法：

epsilon = 1e-8
∂f/∂x(x, y, z) = (f(x+epsilon,y,z) - f(x-epsilon, y, z))/(epsilon * 2);

y 中的其他偏项将类似和z。

为 epsilon 选择的值取决于 f 的内容、所需的精度、使用的浮点类型以及可能的其他因素。我建议您使用您感兴趣的函数来尝试它的值。

A simple method is to compute the change in f over a small value for each point of the derivative you're interested in. For example, to compute ∂f/∂x, you could use this:

epsilon = 1e-8
∂f/∂x(x, y, z) = (f(x+epsilon,y,z) - f(x-epsilon, y, z))/(epsilon * 2);

The other partials would be similar in y and z.

The value chosen for epsilon depends on the contents of f, the precision required, the floating point type used, and probably other things. I suggest you experiment with values for it with functions you're interested in.

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烈酒灼喉 2024-07-21 13:43:47

要进行数值微分（始终是近似值），有两种常见情况：

您有一种方法（算法、方程）来计算任意给定 x 处的 f(x) 值，或者
您有 f(x) 值在一组等距的 x 值（f(1)、f(1.5)、f(2) 等）处：

如果您有算法，那么您最好看看Andrea安布的回答*：
1. 从 f(a+h) 和 f(ah) 的值开始，然后执行
  f'(a) = { f(a+h)-f(ah) } / 2h
  这被称为中心差异。
2. 根据 Andrea 的回答，减小偏移 h 的大小，直到 f'(a) 停止变化。
- 请注意，在未检查 2h 是否大于 0 的情况下，请勿除以 2h，否则会出现除以零的错误。
如果函数的值位于 f(x) = f(x_n) = f_n 的一组值处，那么我们可以执行类似于上述方法，但我们的准确性将受到 x_n 的值及其之间的差距的限制。
第一个近似只是使用与上面相同的中心差分算子；
f'_n = (f_n+1 - f_n-1)/2h,
其中 h 是 x_n 值之间的相等间距。
接下来是使用五点模板，尽管它只有 4 个系数：维基百科页面上有详细说明。这使用从 f_n-2 到 f_n+2 的值： f'_n = (-f_{n+2< /sub> + 8f_n+1 - 8f_n-1 +f_n-2)/12h。}
有使用更多点的高阶近似，但它们变得越来越难以计算收益递减，并且在数值上变得更加不稳定。
**注意**：这些有限差分公式依赖于 f 与 x_n-1≤ x ≤_n+1 范围内多项式的形状大致相同。对于像正弦波这样的函数，它们在计算导数时可能非常不准确。

*Andrea的答案使用前向差分算子{f(a+h) - f(a)}/h而不是中心差分算子{f(a+h) - f(ah)}/2h，但是前向差分算子在数值解中不太准确。

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绝不放开 2024-07-21 13:43:47

如果不使用像 Maple 这样的符号数学语言，你能做的最好的就是在不同的点上近似导数。（然后插入，如果你需要一个函数。）

如果你已经有了你想要使用的函数，那么你应该使用向后除差论坛，以及Richardson 外推来改善您的错误。

另请记住，这些方法适用于一个变量的函数。然而，每个变量的偏导数将其他变量视为常数。

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神经大条 2024-07-21 13:43:47

自动微分是执行此类操作的最准确且概念上最棒的方法。只是稍微复杂一点。

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自由范儿 2024-07-21 13:43:47

正式来说，不。您要么描述离散函数的（偏）导数，要么要求一种数值方法来近似连续函数的（偏）导数。

离散函数没有导数。如果您查看导数的 epsilon-delta 定义，您会发现您需要能够计算接近您想要导数的点的函数。如果函数仅具有 x、y 和 z 整数值，则这是没有意义的。因此，对于任何快速值，都无法找到离散函数的导数。

如果您想要一种数值方法精确计算连续函数的导数，那么您也运气不好。导数的数值方法是启发式的，而不是算法式的。没有任何数值方法可以保证精确的解。幸运的是，存在许多好的启发方法。 Mathematica 默认使用布伦特主轴法的专用版本。我建议您使用 GNU 科学库，它很好地实现了布伦特方法。我的一门数学课程的全部成绩都归功于 GSL。如果您喜欢的话，红宝石绑定非常好。如果有必要，大多数数值微分库都有一些不同的方法可用。

如果你真的想要，我可以拿出一些示例代码。让我知道。

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