生成正半定矩阵的简单算法

Question

我想生成正随机半定矩阵。 我正在寻找一种算法，或更优选的是用 C、matlab、java 或任何语言实现该算法的简单实现。

Answer 1

1. 生成随机矩阵，
2. 将其乘以它自己的转置，
3. 就得到了一个正半定矩阵。

示例代码（Python）：

import numpy as np
matrixSize = 10 
A = np.random.rand(matrixSize, matrixSize)
B = np.dot(A, A.transpose())
print 'random positive semi-define matrix for today is', B

Answer 2

您需要明确“随机”的定义。 您对所得矩阵有哪些限制？ 您希望系数均匀分布还是正态分布？ 您希望特征值具有特定的分布吗？ （等等）

有多种方法可以生成正半定矩阵 M，包括：

1. 给定任意矩阵 A，计算 M = A^TA （构造一个 Cholesky 分解）
2. 给定一个具有非负对角元素的任意对角矩阵 S 和一个相同大小的正交矩阵 Q，计算 M = QSQ^T （构建奇异值分解）

出于数字原因，我可能会选择第二种方法是生成具有所需属性的对角矩阵，然后生成 Q 作为许多Householder 反射<的组合/a> （生成随机向量 v，缩放至单位长度，H = I - 2vv^T）； 我怀疑你想要使用 K * N，其中 N 是矩阵 M 的大小，K 是 1.5-3 之间的数字（我猜测这一点），以确保它具有足够的自由度。

您还可以使用 Givens 旋转 生成正交矩阵 Q：选择从 1 到 N 的 2 个不同值，然后围绕该对轴生成吉文斯旋转，角度在 0 到 2 * pi 之间均匀分布。 然后取其中的 K * N（与上段相同的推理），它们的组合产生 Q。

编辑：我猜测（不确定）如果你有独立生成且正态分布的系数，那么整个矩阵将是“正态分布”（无论这意味着什么）。 至少对于向量来说是这样。 （N 个独立生成的高斯随机变量，每个分量一个，为您提供一个高斯随机向量）对于均匀分布的分量来说，情况并非如此。

Answer 3

如果你可以用你选择的语言生成一个随机矩阵，那么通过使用矩阵乘以其转置是半正定的属性，你可以生成一个随机正半定矩阵

在Matlab中它会像下面这样简单

% Generate a random 3x3 matrix
    A = rand(3,3) 
% Multiply by its tranpose
    PosSemDef = A'*A 

Answer 4

正半定矩阵上的自然分布是 Wishart 分布。

Answer 5

A'*A 将给出一个正半定矩阵当且仅当 A 是秩亏的。 因此，上述答案和从维基百科复制的答案通常并不正确。 要计算正半定矩阵，只需取任何矩形 m × n 矩阵 (m < n) 并将其乘以其转置即可。 即，如果B是m×n矩阵，其中m＜1。 n，则 B'*B 是半定矩阵。 我希望这有帮助。

Answer 6

澄清一点（我希望）。 令 A 为随机矩阵（例如，由随机正态变量填充），mxn，其中 m >= n。 那么如果 A 是满列秩的，A'A 将是正定的。 如果 A 的秩 < n 那么 A'A 将是半正定的（但不是
正定）。

m >= n 的随机正态矩阵几乎肯定是满秩的； 为了生成秩亏矩阵，可以附加一列或多列，这些列是其他列的线性组合。