给定一组点，如何近似其形状的长轴？

Question

给定用户绘制的“形状”，我​​想对其进行“标准化”，以便它们都具有相似的大小和方向。 我们拥有的是一组点。 我可以使用边界框或圆圈来近似大小，但方向有点棘手。

我认为正确的方法是计算其长轴 ="http://en.wikipedia.org/wiki/Bounding_volume" rel="nofollow noreferrer">边界椭圆。 为此，您需要计算 协方差矩阵。 这样做可能对我的需要来说太复杂了，因为我正在寻找一些足够好的估计。 选择最小、最大和 20 个随机点可能是一些入门。 有没有一种简单的方法可以近似这个？

编辑： 我发现幂法来迭代近似特征向量。 维基百科文章。 到目前为止，我喜欢 大卫的回答。

Answer 1

您将计算 2x2 矩阵的特征向量，这可以通过一些简单的公式来完成，因此并不那么复杂。 在伪代码中：

// sums are over all points
b = -(sum(x * x) - sum(y * y)) / (2 * sum(x * y))
evec1_x = b + sqrt(b ** 2 + 1)
evec1_y = 1
evec2_x = b - sqrt(b ** 2 + 1)
evec2_y = 1

如果您希望所选的点子集能够代表整个集合，您甚至可以通过仅对某些点求和来获得估计值来实现此目的。

编辑：我认为x和y必须转换为零均值，即首先从所有x、y中减去均值(eed3si9n)。

Answer 2

这里有一个想法...如果您对这些点执行线性回归并使用结果线的斜率会怎样？ 如果不是所有的点，至少是其中的一个样本。

r^2 值还会为您提供有关一般形状的信息。 越接近 0，形状越圆形/均匀（圆形/方形）。 越接近 1，形状越拉伸（椭圆形/矩形）。

Answer 3

此问题的最终解决方案是运行 PCA
我希望我能找到一个不错的小实现供您参考......

Answer 4

干得好！ （假设 x 是 nx2 向量）

def majAxis(x):
    e,v = np.linalg.eig(np.cov(x.T)); return v[:,np.argmax(e)]