使用泰勒级数避免精度损失

Question

我正在尝试使用泰勒级数来开发一种数值上合理的算法来求解函数。 我已经做了很长一段时间了，但还没有任何运气。 我不确定我做错了什么。

该函数

f(x)=1 + x - sin(x)/ln(1+x)   x~0

还有：为什么该函数会出现精度损失？ 当 x 接近于零时，sin(x)/ln(1+x) 甚至与 x 相差甚远。 我不明白在哪里失去了意义。

为了解决这个问题，我相信我需要使用 sin(x) 和 ln(1+x) 的泰勒展开式，它们分别是

x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

和

x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...

。 我尝试使用类似的分母来组合 x 和 sin(x)/ln(1+x) 分量，甚至组合所有三个，但最终似乎没有任何结果正确。 任何帮助表示赞赏。

Answer 1

可能会出现精度损失，因为当 x ~ 0 时，ln(1+x) 也接近 0，因此您最终会除以一个非常小的数字。 计算机不太擅长这一点;-)

如果您直接使用泰勒级数来表示 ln(1+x)，这会有点痛苦，因为您最终会除以无限级数的项。 对于这样的情况，我通常更喜欢从定义中计算整个函数的泰勒级数：

f(x) = f(0) + f'(0) x + f''(0) x/2 + f'''(0) x/6 + ...

从中您将得到

f(x) = 2 + 3x/2 - x^2/4 - x^3/24 - x^4/240 - 23x^5/1440 + 31x^6/2880 ...

（我作弊并将其插入 Mathematica ;-）就像史蒂夫说的那样，这个级数不'尽管我目前想不出更好的方法，但收敛速度不会那么快。

编辑：我想我误解了这个问题 - 如果你想做的只是找到函数的零点，那么肯定有比使用泰勒级数更好的方法。

Answer 2

由于这是家庭作业，我只是尝试给出一些正确方向的指导。

解决方案 1

不要使用 Talyor 级数近似，而是尝试简单地使用求根算法例如牛顿-拉夫森法、线性插值法或区间二分法（或将它们甚至组合起来）。 它们的实现非常简单，并且通过适当选择起始值，根可以很快收敛到精确值。

解决方案 2

如果您出于某种原因确实需要使用泰勒级数近似，那么只需展开 sin(x)、ln(x) 等即可。 （在您的情况下，乘以 ln(x) 可以删除分母）。 然后您需要使用某种多项式方程求解器。 如果您想要合理的准确度，则需要超出我想象的 3 次方或 4 次方，这意味着简单的分析解决方案并不容易。 但是，您可能需要研究类似于 Durand-Kerner 方法 的方法来解决一般问题任意阶多项式。 不过，如果您需要使用高阶项，这种方法只会导致复杂化，所以我肯定会推荐解决方案 1。

希望有所帮助...

Answer 3

我认为你需要看看当 x -->0 时 ln(x+1) 会发生什么，你就会明白为什么这个函数在 x = 0 附近表现不佳。

Answer 4

我还没有仔细研究过这个问题，但你应该知道一些泰勒级数收敛得非常非常慢。

Answer 5

只需直接计算 f 的泰勒级数即可。

Maxima 给了我（关于 x=0 的前 4 项）：

(%i1) f(x):=1 + x - sin(x)/log(1+x);
                                           - sin(x)
(%o1)                     f(x) := 1 + x + ----------
                                          log(1 + x)


(%i2) taylor(f(x),x,0,4);
                                2    3    4
                           x   x    x    x
(%o2)/T/                   - + -- + -- + --- + . . .
                           2   4    24   240

Answer 6

问题中使用的方法是正确的 - 只需确保您的计算器处于弧度模式即可。