使用 PRNG 而不是打乱生成打乱范围

Question

是否有任何已知的算法可以在给定任意种子值的情况下在线性时间和恒定空间（当迭代产生输出时）生成打乱范围 [0..n)？

假设n可能很大，例如数百万，因此不需要潜在地产生每种可能的排列的要求，尤其是因为它是不可行的（种子值空间需要很大）。 这也是需要恒定空间的原因。 （所以，我特别不寻找数组洗牌算法，因为这要求范围存储在长度为 n 的数组中，因此将使用线性空间。）

我知道 问题 162606，但它没有给出这个特定问题的答案 - 从排列索引到该问题中给出的排列将需要巨大的种子值空间。

理想情况下，它就像一个周期和范围为 n 的 LCG >，但是为 LCG 选择 a 和 c 的艺术是微妙的。 简单地满足全周期 LCG 中的 a 和 c 约束可能会满足我的要求，但我想知道是否有更好的想法。

Answer 1

根据 Jason 的回答，我用 C# 做了一个简单直接的实现。 找到大于 N 的下一个最大的二的幂。这使得生成 a 和 c 变得微不足道，因为 c 需要是互质的（意味着它不能被 2 整除，也称为奇数），并且 (a-1) 需要能被 2 整除，(a-1) 需要能被 4 整除。从统计上看，应该需要 1-2 个同余才能生成下一个数字（因为 2N >= M >= N）。

class Program
{
    IEnumerable<int> GenerateSequence(int N)
    {
        Random r = new Random();
        int M = NextLargestPowerOfTwo(N);
        int c = r.Next(M / 2) * 2 + 1; // make c any odd number between 0 and M
        int a = r.Next(M / 4) * 4 + 1; // M = 2^m, so make (a-1) divisible by all prime factors, and 4

        int start = r.Next(M);
        int x = start;
        do
        {
            x = (a * x + c) % M;
            if (x < N)
                yield return x;
        } while (x != start);
    }

    int NextLargestPowerOfTwo(int n)
    {
        n |= (n >> 1);
        n |= (n >> 2);
        n |= (n >> 4);
        n |= (n >> 8);
        n |= (n >> 16);
        return (n + 1);
    }

    static void Main(string[] args)
    {
        Program p = new Program();
        foreach (int n in p.GenerateSequence(1000))
        {
            Console.WriteLine(n);
        }

        Console.ReadKey();
    }
}

Answer 2

下面是 线性同余生成器的 Python 实现，来自 FryGuy 的回答。 因为无论如何我都需要写它并且认为它可能对其他人有用。

import random
import math

def lcg(start, stop):
    N = stop - start

    # M is the next largest power of 2
    M = int(math.pow(2, math.ceil(math.log(N+1, 2))))

    # c is any odd number between 0 and M
    c = random.randint(0, M/2 - 1) * 2 + 1

    # M=2^m, so make (a-1) divisible by all prime factors and 4
    a = random.randint(0, M/4 - 1) * 4 + 1

    first = random.randint(0, M - 1)
    x = first
    while True:
        x = (a * x + c) % M
        if x < N:
            yield start + x
        if x == first:
            break

if __name__ == "__main__":
    for x in lcg(100, 200):
        print x,

Answer 3

听起来你想要一个保证产生从 0 到 n-1 的循环而没有任何重复的算法。 几乎肯定有一大堆，具体取决于您的要求； 如果您想深入研究其背后的理论，群论将是数学中最有帮助的分支。

如果您想要快速且不关心可预测性/安全性/统计模式，LCG 可能是最简单的方法。 您链接到的维基百科页面包含这组（相当简单的）要求：

一般LCG的周期最多为
m，对于一些少得多的选择
比起那个来说。 LCG 将拥有完整的
期间当且仅当：

1. c 和 m 互质，
2. a - 1 可以被 m 的所有质因数整除
3. 如果 m 是 4 的倍数，则 a - 1 是 4 的倍数

或者，您可以选择周期 N >= n，其中 N 是具有方便数值属性的最小值，并丢弃 n 和 N-1 之间产生的任何值。 例如，最低的 N = 2^k - 1 >= n 将允许您使用 线性反馈移位寄存器 (LFSR)。 或者找到您最喜欢的加密算法（RSA、AES、DES 等等）并给定一个特定的密钥，计算出它排列的数字的空间 N，并为每个步骤应用一次加密。

如果 n 很小，但您希望安全性很高，这可能是最棘手的情况，因为任何序列 S 的周期 N 都可能比 n 高得多，但导出周期较短的非重复数字序列也很重要（例如，如果您可以获取 S mod n 的输出并保证数字序列不重复，那么这将提供攻击者可能使用的有关 S 的信息）

Answer 4

请参阅我的文章 使用分组密码进行安全排列是实现此目的的一种方法。

Answer 5

查看线性反馈移位寄存器，它们正是可以用于此目的。
解释它们的简短方法是，您从种子开始，然后使用公式进行迭代，

x = (x << 1) | f(x)

其中 f(x) 只能返回 0 或 1。

如果您选择一个好的函数 f，x 将循环遍历以良好的伪随机方式计算 1 到 2^n-1 之间的所有值（其中 n 是某个数字）。
示例函数可以在此处找到，例如您可以使用 63 个值

f(x) = ((x >> 6) & 1) ^ ((x >> 5) & 1)