Floor() 是否返回可以完全表示的东西？

Question

在 C89 中，floor() 返回双精度值。 以下内容是否保证有效？

double d = floor(3.0 + 0.5);
int x = (int) d;
assert(x == 3);

我担心的是，floor 的结果可能无法在 IEEE 754 中精确表示。因此 d 得到类似 2.99999 的值，而 x 最终为 2。

对于这个问题的答案是“是”，int 范围内的所有整数都具有为了精确地表示为双精度数，floor 必须始终返回精确表示的值。

Answer 1

如果您的浮点类型支持所需的尾数位，则所有整数都可以具有精确的浮点表示。 由于 double 使用 53 位尾数，因此它可以准确存储所有 32 位 int。 毕竟，您可以将值设置为指数为零的尾数。

Answer 2

如果 Floor() 的结果不能完全表示，您期望 d 的值是多少？ 当然，如果您已经得到了变量中浮点数的表示，那么根据定义，它是完全可以表示的，不是吗？ 你已经得到了 d 中的表示...

（此外，Mehrdad 的答案对于 32 位整数来说是正确的。在具有 64 位双精度和 64 位整数的编译器中int，当然你还有更多问题......）

编辑：也许你的意思是“floor()的理论结果，即小于或等于参数的最大整数值，可能无法表示为int”。 这当然是真的。 对于 int 为 32 位的系统显示这一点的简单方法：

int max = 0x7fffffff;
double number = max;
number += 10.0;
double f = floor(number);
int oops = (int) f;

我不记得当从浮点到整数的转换溢出时 C 会做什么......但它会在这里发生。

编辑：还有其他有趣的情况需要考虑。 下面是一些 C# 代码和结果 - 我想象在 C 中至少会发生类似的事情。在 C# 中，double 被定义为 64 位， 也是如此长。

using System;
class Test
{
    static void Main()
    {
        FloorSameInteger(long.MaxValue/2);
        FloorSameInteger(long.MaxValue-2);
    }

    static void FloorSameInteger(long original)
    {
        double convertedToDouble = original;
        double flooredToDouble = Math.Floor(convertedToDouble);
        long flooredToLong = (long) flooredToDouble;

        Console.WriteLine("Original value: {0}", original);
        Console.WriteLine("Converted to double: {0}", convertedToDouble);
        Console.WriteLine("Floored (as double): {0}", flooredToDouble);
        Console.WriteLine("Converted back to long: {0}", flooredToLong);
        Console.WriteLine();
    }
}

结果：

原始值：4611686018427387903
转换为双精度：
4.61168601842739E+18
地板（双）：4.61168601842739E+18
转换回长整型：
4611686018427387904

原值：9223372036854775805
转换为双精度：
9.22337203685478E+18
地板（双）：9.22337203685478E+18
转换回长整型：
-9223372036854775808

换句话说：

(long) floor((double) original)

并不总是与原始相同。 这应该不足为奇 - long 值比 double 多（给定 NaN 值），并且大量 double 不是整数，因此我们不能期望每个 long 都能精确表示。 然而，所有 32 位整数都可以表示为双精度数。

Answer 3

我认为你对你想问的问题有点困惑。 floor(3 + 0.5) 不是一个很好的例子，因为 3、0.5 及其总和都可以用任何现实世界的浮点格式精确表示。 floor(0.1 + 0.9) 是一个更好的例子，这里真正的问题不是 floor 的结果是否可以精确表示，而是数字是否不精确floor 之前将导致返回值与您期望的不同。 在这种情况下，我相信答案是肯定的，但这在很大程度上取决于您的具体数字。

如果这种方法不好的话，我邀请其他人批评这种方法，但一种可能的解决方法可能是在调用 floor 之前将您的数字乘以 (1.0+0x1p-52) 或类似的值（也许使用 nextafter 会更好）。 这可以补偿数字最后一个二进制位中的错误导致其恰好低于而不是恰好落在整数值上的情况，但它不会考虑在多次操作中累积的错误。 如果您需要这种水平的数字稳定性/准确性，您需要进行一些深入分析或使用可以正确处理您的数字的任意精度或精确数学库。