是否有一种简单的方法来反转三角形（上或下）矩阵？

Question

我正在尝试实现一些基本的线性代数运算，其中之一是三角（上和/或下）矩阵的求逆。 有没有一种简单且稳定的算法可以做到这一点？

谢谢。

Answer 1

给定一个下三角矩阵 L，回代可以求解该系统
L x = b
对于任何右侧，快速 b．

要反转 L，您可以求解该方程组的右侧 e1=(1,0,...,0), e2=(0,1,...,0), ..., en=(0 ,0,...,1) 并将所得解向量组合成单个（必须是下三角）矩阵。

如果您对封闭式解感兴趣，则逆的对角元素是原始对角元素的逆，并且当您远离对角线时，逆的其余元素的公式会变得越来越复杂。

Answer 2

如果可以的话，不要颠倒它。 它是数值线性代数的基本戒律之一。

将矩阵 L 本身保留在内存中并进行计算会更快且数值更稳定

inv(L)b

with back-substitution whenever you need to do something else with inv(L).

请注意，反转它的常规算法需要求解系统

inv(L)[1 0 0 ...],
inv(L)[0 1 0 ....],
inv(L)[0 0 1 ....]

and so on, so you see it is much easier not to invert it at all.

Answer 3

是的，使用后向替换。 求逆矩阵的标准算法是求其 LU 分解（分解为下三角矩阵和上三角矩阵），对三角块进行回代，然后组合结果以获得原始矩阵的逆矩阵。

Answer 4

如果您谈论的是单精度实数，请查看 LAPACK 例程的源代码 STRTRI 和 STRTI2。

Answer 5

作为三角矩阵 A 的逆 B，您可以使用以下 MATLAB 代码：

n = size(A,1);
B = zeros(n);
for i=1:n
    B(i,i) = 1/A(i,i);
    for j=1:i-1
        s = 0;
        for k=j:i-1
            s = s + A(i,k)*B(k,j);
        end
        B(i,j) = -s*B(i,i);
    end
end

Answer 6

哇，这几乎是数值分析课程内容的一半。 标准算法可以做到这一点，这里有一堆预装代码 。 这个问题和大多数其他常见数值分析问题的最终来源是Numerical Recipes。