Mandelbrot 集渲染的平滑频谱

Question

我目前正在编写一个程序来生成非常巨大的（65536x65536 像素及以上）Mandelbrot 图像，我想设计一个光谱和着色方案来使它们公正。 维基百科特色曼德尔布罗图像似乎是一个很好的例子，尤其是调色板如何保持变化在序列的所有缩放级别。 不过，我不确定它是否正在旋转调色板或执行其他一些技巧来实现此目的。

我熟悉 mandelbrot 集的平滑着色算法，所以我可以避免条带，但我仍然需要一种方法来为该算法的输出值分配颜色。

我生成的图像是金字塔形的（例如，一系列图像，每个图像的尺寸是前一个图像的一半），因此我可以使用某种旋转调色板，只要后续图像之间的调色板发生变化即可缩放级别不太明显。

Answer 1

这是平滑颜色算法：

假设您从复数 z0 开始，迭代 n 次，直到它逃逸。 令终点为zn。

平滑值将是

nsmooth := n + 1 - Math.log(Math.log(zn.abs()))/Math.log(2)

这仅适用于 mandelbrot，如果您想计算 Julia 集的平滑函数，则使用

Complex z = new Complex(x,y);
double smoothcolor = Math.exp(-z.abs());

for(i=0;i<max_iter && z.abs() < 30;i++) {
    z = f(z);
    smoothcolor += Math.exp(-z.abs());
}

然后 smoothcolor 位于区间 (0,max_iter) 。

将 smoothcolor 与 max_iter 相除，得到 0 到 1 之间的值。

从该值中获取平滑颜色：

例如，可以调用此方法（在 Java 中）：

Color.HSBtoRGB(0.95f + 10 * smoothcolor ,0.6f,1.0f);

因为 HSB 颜色参数中的第一个值用于定义色环中的颜色。

Answer 2

使用平滑着色算法计算视口内的所有值，然后将调色板从最低值映射到最高值。 因此，当您放大并且更高的值不再可见时，调色板也会缩小。 使用相同的 n 和 B 常数，对于完全缩小的设置，最终的范围将是 0.0 到 1.0，但在更深的缩放时，动态范围会缩小，也就是说，在 200% 缩放时为 0.0 到 0.1，在 200% 缩放时为 0.0 到 0.0001。 20000% 缩放等

Answer 3

这是朴素曼德尔布罗生成器的典型内循环。 为了获得平滑的颜色，您需要传递真实且复杂的“长度”以及您退出的迭代。 我已经包含了 Mandelbrot 代码，这样您就可以看到使用哪些变量来计算颜色。

for (ix = 0; ix < panelMain.Width; ix++)
    {
    cx = cxMin + (double )ix * pixelWidth;
    // init this go 
    zx = 0.0;
    zy = 0.0;
    zx2 = 0.0;
    zy2 = 0.0;
    for (i = 0; i < iterationMax && ((zx2 + zy2) < er2); i++)
        {
        zy = zx * zy * 2.0 + cy;
        zx = zx2 - zy2 + cx;
        zx2 = zx * zx;
        zy2 = zy * zy;
        }
    if (i == iterationMax)
        {
        // interior, part of set, black
        // set colour to black
        g.FillRectangle(sbBlack, ix, iy, 1, 1);
        }
    else
        {
        // outside, set colour proportional to time/distance it took to converge
        // set colour not black
        SolidBrush sbNeato = new SolidBrush(MapColor(i, zx2, zy2));
        g.FillRectangle(sbNeato, ix, iy, 1, 1);
        }

和 MapColor 下面：（参见 此链接可获取 ColorFromHSV 函数）

 private Color MapColor(int i, double r, double c)
                {
                double di=(double )i;
                double zn;
                double hue;

                    zn = Math.Sqrt(r + c);
                    hue = di + 1.0 - Math.Log(Math.Log(Math.Abs(zn))) / Math.Log(2.0);  // 2 is escape radius
                    hue = 0.95 + 20.0 * hue; // adjust to make it prettier
                    // the hsv function expects values from 0 to 360
                    while (hue > 360.0)
                        hue -= 360.0;
                    while (hue < 0.0)
                        hue += 360.0;

                    return ColorFromHSV(hue, 0.8, 1.0);
                }

MapColour 将救助值从 0 “平滑”到 1，然后可用于映射颜色而不会出现可怕的条带。 使用 MapColour 和/或 hsv 函数可以让您改变使用的颜色。

Answer 4

通过反复试验似乎很容易做到。 假设您可以定义要使用的端点颜色（黑色和白色；蓝色和黄色；深红色和浅绿色等）的 HSV1 和 HSV2（色调、饱和度、值），并假设您有一个算法来分配每个像素的 P 值介于 0.0 和 1.0 之间。 然后该像素的颜色就变成了

(H2 - H1) * P + H1 = HP
(S2 - S1) * P + S1 = SP
(V2 - V1) * P + V1 = VP

完成后，只需观察结果并看看您是否喜欢它们。 如果分配 P 的算法是连续的，那么梯度也应该是平滑的。

Answer 5

我最终的解决方案是创建一个漂亮的（而且相当大）的调色板，并将其作为常量数组存储在源中，然后使用平滑着色算法在其中的索引之间进行插值。 调色板环绕（并且设计为连续的），但这似乎并不重要。

Answer 6

该图像中的颜色映射的情况是它在索引上使用“对数传输函数”（根据文档）。 它到底是如何做到的我还没有弄清楚。 生成它的程序使用 400 种颜色的调色板，因此索引范围为 [0,399)，如果需要，可以环绕。 我已经设法非常接近匹配它的行为。 我使用 [0,1) 的索引范围并像这样映射它：

    double value = Math.log(0.021 * (iteration + delta + 60)) + 0.72;
    value = value - Math.floor(value);

这有点奇怪，我必须在那里使用这些特殊常量才能使我的结果匹配，因为我怀疑他们会这样做。 但最终不管怎样，对吧？

Answer 7

在这里你可以找到一个带有 javascript 用法的版本

：

var rgbcol = [] ;
var rgbcol = MapColor ( Iteration , Zy2,Zx2 ) ;
point ( ctx , iX, iY ,rgbcol[0],rgbcol[1],rgbcol[2] );  

函数

/*
 * The Mandelbrot Set, in HTML5 canvas and javascript.
 * https://github.com/cslarsen/mandelbrot-js
 *
 * Copyright (C) 2012 Christian Stigen Larsen
*/

/*
 * Convert hue-saturation-value/luminosity to RGB.
 *
 * Input ranges:
 *   H =   [0, 360] (integer degrees)
 *   S = [0.0, 1.0] (float)
 *   V = [0.0, 1.0] (float)
 */
function hsv_to_rgb(h, s, v)
{
  if ( v > 1.0 ) v = 1.0;
  var hp = h/60.0;
  var c = v * s;
  var x = c*(1 - Math.abs((hp % 2) - 1));
  var rgb = [0,0,0];

  if ( 0<=hp && hp<1 ) rgb = [c, x, 0];
  if ( 1<=hp && hp<2 ) rgb = [x, c, 0];
  if ( 2<=hp && hp<3 ) rgb = [0, c, x];
  if ( 3<=hp && hp<4 ) rgb = [0, x, c];
  if ( 4<=hp && hp<5 ) rgb = [x, 0, c];
  if ( 5<=hp && hp<6 ) rgb = [c, 0, x];

  var m = v - c;
  rgb[0] += m;
  rgb[1] += m;
  rgb[2] += m;

  rgb[0] *= 255;
  rgb[1] *= 255;
  rgb[2] *= 255;

  rgb[0] = parseInt ( rgb[0] ); 
  rgb[1] = parseInt ( rgb[1] );
  rgb[2] = parseInt ( rgb[2] );  

  return rgb;
}

// http://stackoverflow.com/questions/369438/smooth-spectrum-for-mandelbrot-set-rendering
// alex russel : http://stackoverflow.com/users/2146829/alex-russell

function MapColor(i,r,c)
{
    var di= i;
    var zn;
    var hue;

        zn = Math.sqrt(r + c);
        hue = di + 1.0 - Math.log(Math.log(Math.abs(zn))) / Math.log(2.0);  // 2 is escape radius
        hue = 0.95 + 20.0 * hue; // adjust to make it prettier
        // the hsv function expects values from 0 to 360
        while (hue > 360.0)
            hue -= 360.0;
        while (hue < 0.0)
            hue += 360.0;

        return hsv_to_rgb(hue, 0.8, 1.0);
}