如何使用牛顿法找到非线性多元函数的最小值（代码不是线性代数）

Question

我正在尝试进行一些参数估计，并希望选择能够最小化大约 30 个变量的预测方程中的平方误差的参数估计。 如果方程是线性的，我只需计算 30 个偏导数，将它们全部设置为零，然后使用线性方程求解器。 但不幸的是方程是非线性的，它的导数也是非线性的。

如果方程针对单个变量，我只会使用牛顿法（也称为牛顿-拉夫森）。 网络上有丰富的示例和代码来实现单个变量函数的牛顿方法。

鉴于我有大约 30 个变量，如何使用牛顿法编写该问题的数值解？ 我有封闭形式的方程，可以计算一阶和二阶导数，但我不太知道如何从那里开始。 我在网上找到了大量的处理方法，但它们很快就陷入了沉重的矩阵表示法中。 我在维基百科上找到了一些有一定帮助的内容，但我在翻译时遇到了问题将其转化为代码。

我担心崩溃的地方是矩阵代数和矩阵求逆。 我可以使用线性方程求解器反转矩阵，但我担心获得正确的行和列，避免转置错误等。

具体来说：

• 我想使用将变量映射到其值的表。 我可以编写这样一个表的函数，该函数返回给定这样的表作为参数的平方误差。 我还可以创建返回任何给定变量的偏导数的函数。

• 我对表中的值有一个合理的起始估计，所以我不担心收敛。

• 不确定如何编写使用估计值（每个变量的值表）、函数和偏导函数表来生成新估计值的循环。

最后一点是我想要帮助的。 任何直接帮助或良好来源的指示都将受到热烈欢迎。

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编辑：由于我有封闭形式的一阶和二阶导数，我想利用它们并避免像单纯形搜索这样更慢的收敛方法。

Answer 1

数字食谱链接是最有帮助的。 我最终对误差估计进行符号微分以产生 30 个偏导数，然后使用牛顿法将它们全部设置为零。 以下是代码的重点：

__doc.findzero = [[function(functions, partials, point, [epsilon, steps]) returns table, boolean
Where
  point       is a table mapping variable names to real numbers 
              (a point in N-dimensional space)
  functions   is a list of functions, each of which takes a table like
              point as an argument
  partials    is a list of tables; partials[i].x is the partial derivative
              of functions[i] with respect to 'x'
  epilson     is a number that says how close to zero we're trying to get
  steps       is max number of steps to take (defaults to infinity)
  result      is a table like 'point', boolean that says 'converged'
]]

-- See Numerical Recipes in C, Section 9.6 [http://www.nrbook.com/a/bookcpdf.php]




function findzero(functions, partials, point, epsilon, steps)
  epsilon = epsilon or 1.0e-6
  steps = steps or 1/0
  assert(#functions > 0)
  assert(table.numpairs(partials[1]) == #functions,
         'number of functions not equal to number of variables')
  local equations = { }
  repeat
    if Linf(functions, point) <= epsilon then
      return point, true
    end
    for i = 1, #functions do
      local F = functions[i](point)
      local zero = F
      for x, partial in pairs(partials[i]) do
        zero = zero + lineq.var(x) * partial(point)
      end
      equations[i] = lineq.eqn(zero, 0)
    end
    local delta = table.map(lineq.tonumber, lineq.solve(equations, {}).answers)
    point = table.map(function(v, x) return v + delta[x] end, point)
    steps = steps - 1
  until steps <= 0
  return point, false
end


function Linf(functions, point)
  -- distance using L-infinity norm
  assert(#functions > 0)
  local max = 0
  for i = 1, #functions do
    local z = functions[i](point)
    max = math.max(max, math.abs(z))
  end
  return max
end

Answer 2

您也许可以在 C 语言数值食谱网页中找到您需要的内容。 有一个在线免费版本。 这里 (PDF) 是包含实现的 Newton-Raphson 方法的章节您可能还想查看 Netlib（LINPack 等）中提供的内容。

Answer 3

作为使用牛顿法的替代方法，Nelder-Mead 单纯法非常适合 的 Numerical Recpies 中被引用

这个问题在 C. Rob

Answer 4

您需要一个函数最小化算法。 主要有两个类：本地类和全局类。 您的问题是最小二乘，因此局部和全局最小化算法都应该收敛到相同的唯一解决方案。 局部最小化比全局最小化更有效，所以选择它。

有许多局部最小化算法，但特别适合最小二乘问题的一种算法是 Levenberg-马夸特。 如果您手头没有这样的求解器（例如，来自 MINPACK），那么您可能可以使用牛顿法：

x <- x - (hessian x)^-1 * grad x

使用线性求解器计算逆矩阵乘以向量。

Answer 5

既然您已经有了偏导数，那么通用的梯度下降方法怎么样？

Answer 6

也许您认为您有一个足够好的解决方案，但对我来说，思考这个问题的最简单方法是首先在 1 变量情况下理解它，然后将其扩展到矩阵情况。

在 1 变量的情况下，如果将一阶导数除以二阶导数，您将得到下一个试验点的（负）步长，例如 -V/A。

在 N 变量的情况下，一阶导数是向量，二阶导数是矩阵（Hessian）。 您将导数向量乘以二阶导数的倒数，结果是下一个试验点的负阶跃向量，例如 -V*(1/A)

我假设您可以获得二阶导数 Hessian 矩阵。 你需要一个例程来反转它。 各种线性代数包中有很多这样的东西，而且它们速度相当快。

（对于不熟悉这个想法的读者，假设两个变量是x和y，曲面是v(x,y)。那么一阶导数是向量：

 V = [ dv/dx, dv/dy ]

二阶导数是矩阵：

 A = [dV/dx]
    [dV/dy]

或：

 A = [ d(dv/dx)/dx, d(dv/dy)/dx]
    [ d(dv/dx)/dy, d(dv/dy)/dy]

或：

 A = [d^2v/dx^2, d^2v/dydx]
    [d^2v/dxdy, d^2v/dy^2]

这是对称的。）

如果表面是抛物线（恒定的二阶导数），它将在 1 步内得到答案。 另一方面，如果二阶导数非常不恒定，则可能会遇到振荡。 将每个步骤切成两半（或一些分数）应该可以使其稳定。

如果 N == 1，您将看到它执行与 1 变量情况相同的操作。

祝你好运。

补充：您想要代码：

 double X[N];
// Set X to initial estimate
while(!done){
    double V[N];    // 1st derivative "velocity" vector
    double A[N*N];  // 2nd derivative "acceleration" matrix
    double A1[N*N]; // inverse of A
    double S[N];    // step vector
    CalculateFirstDerivative(V, X);
    CalculateSecondDerivative(A, X);
    // A1 = 1/A
    GetMatrixInverse(A, A1);
    // S = V*(1/A)
    VectorTimesMatrix(V, A1, S);
    // if S is small enough, stop
    // X -= S
    VectorMinusVector(X, S, X);
}

Answer 7

我的意见是使用随机优化器，例如粒子群方法。