生成数字的分区

Question

我需要一种算法来生成正数的所有可能分区，我想出了一个（作为答案发布），但这是指数时间。

该算法应返回将数字表示为小于或等于其自身的正数之和的所有可能方式。 例如，对于数字 5，结果将是：

• 5
• 4+1
• 3+2
• 3+1+1
• 2+2+1
• 2+1+1+1
• 1+1+1+ 1+1

所以我的问题是：是否有更有效的算法？

编辑：问题的标题是“数字的求和分解”，因为我真的不知道这叫什么。 ShreevatsaR 指出它们被称为“分区”，所以我编辑了相应的问题标题。

Answer 1

它称为分区。 [另请参阅维基百科：分区（数论）。]

分区数 p (n) 呈指数增长，因此您为生成所有分区所做的任何事情都必然需要花费指数时间。

也就是说，您可以做得比您的代码更好。 请参阅此或其更新版本，位于Python 算法和数据结构 作者：大卫·埃普斯坦。

Answer 2

这是我的 Python 解决方案（指数时间）

q = { 1: [[1]] }

def decompose(n):
    try:
        return q[n]
    except:
        pass

    result = [[n]]

    for i in range(1, n):
        a = n-i
        R = decompose(i)
        for r in R:
            if r[0] <= a:
                result.append([a] + r)

    q[n] = result
    return result

：

>>> decompose(5)
[[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1]]

Answer 3

当你问更有效的算法时，我不知道该比较哪个。 但这里有一种以直接方式（Erlang）编写的算法：

-module(partitions).

-export([partitions/1]).

partitions(N) -> partitions(N, N).

partitions(N, Max) when N > 0 ->
    [[X | P]
     || X <- lists:seq(min(N, Max), 1, -1),
        P <- partitions(N - X, X)];
partitions(0, _) -> [[]];
partitions(_, _) -> [].

它是时间指数的（与 Berk Güder 的 Python 解决方案）可以在堆栈空间中线性化吗？ 但是使用相同的技巧，记忆化，您可以通过节省一些内存和更少的指数来实现很大的改进。 （对于 N=50，速度快十倍）

mp(N) ->
    lists:foreach(fun (X) -> put(X, undefined) end,
          lists:seq(1, N)), % clean up process dictionary for sure
    mp(N, N).

mp(N, Max) when N > 0 ->
    case get(N) of
      undefined -> R = mp(N, 1, Max, []), put(N, R), R;
      [[Max | _] | _] = L -> L;
      [[X | _] | _] = L ->
          R = mp(N, X + 1, Max, L), put(N, R), R
    end;
mp(0, _) -> [[]];
mp(_, _) -> [].

mp(_, X, Max, R) when X > Max -> R;
mp(N, X, Max, R) ->
    mp(N, X + 1, Max, prepend(X, mp(N - X, X), R)).

prepend(_, [], R) -> R;
prepend(X, [H | T], R) -> prepend(X, T, [[X | H] | R]).

无论如何，您应该针对您的语言和目的进行基准测试。

Answer 4

这是一种更冗长的方法（这是我在知道术语“分区”之前所做的，它使我能够进行谷歌搜索）：

def magic_chunker (remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets):
    if remainder > 0:
        if prevChunkSet and (len(prevChunkSet) > len(chunkSet)): # counting down from previous
            # make a chunk that is one less than relevant one in the prevChunkSet
            position = len(chunkSet)
            chunk = prevChunkSet[position] - 1
            prevChunkSet = [] # clear prevChunkSet, no longer need to reference it
        else: # begins a new countdown; 
            if chunkSet and (remainder > chunkSet[-1]): # no need to do iterations any greater than last chunk in this set
                chunk = chunkSet[-1]
            else: # i.e. remainder is less than or equal to last chunk in this set
                chunk = remainder #else use the whole remainder for this chunk
        chunkSet.append(chunk)
        remainder -= chunk
        magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
    else: #i.e. remainder==0
        chunkSets.append(list(chunkSet)) #save completed partition
        prevChunkSet = list(chunkSet)
        if chunkSet[-1] > 1: # if the finalchunk was > 1, do further recursion
            remainder = chunkSet.pop() #remove last member, and use it as remainder
            magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
        else: # last chunk is 1
            if chunkSet[0]==1: #the partition started with 1, we know we're finished
                return chunkSets
            else: #i.e. still more chunking to go 
                # clear back to last chunk greater than 1
                while chunkSet[-1]==1:
                    remainder += chunkSet.pop()
                remainder += chunkSet.pop()
                magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)

partitions = []
magic_chunker(10, [], [], partitions)
print partitions

>> [[10], [9, 1], [8, 2], [8, 1, 1], [7, 3], [7, 2, 1], [7, 1, 1, 1], [6, 4], [6, 3, 1], [6, 2, 2], [6, 2, 1, 1], [6, 1, 1, 1, 1], [5, 5], [5, 4, 1], [5, 3, 2], [5, 3, 1, 1], [5, 2, 2, 1], [5, 2, 1, 1, 1], [5, 1, 1, 1, 1, 1], [4, 4, 2], [4, 4, 1, 1], [4, 3, 3], [4, 3, 2, 1], [4, 3, 1, 1, 1], [4, 2, 2, 2], [4, 2, 2, 1, 1], [4, 2, 1, 1, 1, 1], [4, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [3, 3, 3, 1], [3, 3, 2, 2], [3, 3, 2, 1, 1], [3, 3, 1, 1, 1, 1], [3, 2, 2, 2, 1], [3, 2, 2, 1, 1, 1], [3, 2, 1, 1, 1, 1, 1], [3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2, 2], [2, 2, 2, 2, 1, 1], [2, 2, 2, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]]

Answer 5

Java 实现。 可以从记忆中受益。

public class Partition {

    /**
     * partition returns a list of int[] that represent all distinct partitions of n.
     */
    public static List<int[]> partition(int n) {
        List<Integer> partial = new ArrayList<Integer>();
        List<int[]> partitions = new ArrayList<int[]>();
        partition(n, partial, partitions);
        return partitions;
    }

    /**
     * If n=0, it copies the partial solution into the list of complete solutions.
     * Else, for all values i less than or equal to n, put i in the partial solution and partition the remainder n-i.
     */
    private static void partition(int n, List<Integer> partial, List<int[]> partitions) {
        //System.out.println("partition " + n + ", partial solution: " + partial);
        if (n == 0) {
            // Complete solution is held in 'partial' --> add it to list of solutions
            partitions.add(toArray(partial));
        } else {
            // Iterate through all numbers i less than n.
            // Avoid duplicate solutions by ensuring that the partial array is always non-increasing
            for (int i=n; i>0; i--) {
                if (partial.isEmpty() || partial.get(partial.size()-1) >= i) {
                    partial.add(i);
                    partition(n-i, partial, partitions);
                    partial.remove(partial.size()-1);
                }
            }
        }
    }

    /**
     * Helper method: creates a new integer array and copies the contents of the list into the array.
     */
    private static int[] toArray(List<Integer> list) {
        int i = 0;
        int[] arr = new int[list.size()];
        for (int val : list) {
            arr[i++] = val;
        }
        return arr;
    }
}

Answer 6

这是我用 Haskell 编写的使用同态的解决方案。

import Numeric.Natural       (Natural)
import Control.Monad         (join)
import Data.List             (nub)
import Data.Functor.Foldable (ListF (..), para)

partitions :: Natural -> [[Natural]]
partitions = para algebra
    where algebra Nothing          = []
          algebra (Just (0,_))     = [[1]]
          algebra (Just (_, past)) = (nub . (getAll =<<)) (fmap (1:) past)

getAll :: [Natural] -> [[Natural]]
getAll = fmap (dropWhile (==0) . sort) . subsets
    where subsets xs = flip sumIndicesAt xs <
gt; indices xs

indices :: [Natural] -> [[Natural]]
indices = join . para algebra
    where algebra Nil                 = []
          algebra (Cons x (xs, []))   = [[x:xs]]
          algebra (Cons x (xs, past)) = (:) <
gt; [x:xs,[]] <*> past

它绝对不是最有效的，但我认为它非常优雅，而且肯定具有启发性。

Answer 7

这是这个问题的java代码

static void printArray(int p[], int n){
        for (int i = 0; i < n; i++)
            System.out.print(p[i]+" ");
        System.out.println();
}

// Function to generate all unique partitions of an integer
static void printAllUniqueParts(int n) {
    int[] p = new int[n]; // An array to store a partition
    int k = 0; // Index of last element in a partition
    p[k] = n; // Initialize first partition as number itself

    // This loop first prints current partition, then generates next
    // partition. The loop stops when the current partition has all 1s
    while (true) {
        // print current partition
        printArray(p, k + 1);

        // Generate next partition

        // Find the rightmost non-one value in p[]. Also, update the
        // rem_val so that we know how much value can be accommodated
        int rem_val = 0;
        while (k >= 0 && p[k] == 1) {
            rem_val += p[k];
            k--;
        }

        // if k < 0, all the values are 1 so there are no more partitions
        if (k < 0){
            break;
        }
        // Decrease the p[k] found above and adjust the rem_val
        p[k]--;
        rem_val++;

        while (rem_val > p[k]) {
            p[k + 1] = p[k];
            rem_val = rem_val - p[k];
            k++;
        }
        p[k + 1] = rem_val;
        k++;
    }
}

public static void main(String[] args) {
    System.out.println("All Unique Partitions of 5");
    printAllUniqueParts(5);

    System.out.println("All Unique Partitions of 7");
    printAllUniqueParts(7);

    System.out.println("All Unique Partitions of 9");
    printAllUniqueParts(8);
}

Answer 8

另一个 Java 解决方案。 它首先创建第一个分区，该分区只是给定的编号。 然后它进入 while 循环，查找最后创建的分区中大于 1 的最后一个数字。从该数字将 1 移至数组中的下一个数字。 如果下一个数字最终与找到的数字相同，则它会移动到下一个数字。 当最后创建的分区的第一个数字为 1 时，循环停止。这是有效的，因为所有分区中的数字始终按降序排序。

以数字 5 为例。首先它创建第一个分区，即数字 5。然后它在最后一个分区中找到大于 1 的最后一个数字。由于我们的最后一个分区是数组 [5, 0, 0, 0, 0]，所以它找到了数字5 在索引 0 处。然后它从 5 中取出一个并将其移动到下一个位置。 这就是我们得到分区 [4, 1, 0, 0, 0] 的方式。 它再次进入循环。 现在它从 4 中取出一个并将其向上移动，这样我们就得到了 [3, 2, 0, 0, 0]。 然后同样的事情，我们得到 [3, 1, 1, 0, 0]。 在下一次迭代中，我们得到 [2, 2, 1, 0, 0]。 现在它从第二个 2 中获取 1，并尝试将其移动到索引 2，其中我们有 1。它将跳到下一个索引，因为我们也会得到 2，并且我们将有分区 [2, 1, 2, 0, 0]，其中只是最后一个的重复。 相反，我们得到 [2, 1, 1, 1, 0]。 在最后一步中，我们到达 [1, 1, 1, 1, 1] 并且存在循环，因为新分区的第一个数字是 1。

private static List<int[]> getNumberPartitions(int n) {
    ArrayList<int[]> result = new ArrayList<>();
    int[] initial = new int[n];
    initial[0] = n;
    result.add(initial);
    while (result.get(result.size() - 1)[0] > 1) {
        int[] lastPartition = result.get(result.size() - 1);
        int posOfLastNotOne = 0;
        for(int k = lastPartition.length - 1; k >= 0; k--) {
            if (lastPartition[k] > 1) {
                posOfLastNotOne = k;
                break;
            }
        }
        int[] newPartition = new int[n];
        for (int j = posOfLastNotOne + 1; j < lastPartition.length; j++) {
            if (lastPartition[posOfLastNotOne] - 1 > lastPartition[j]) {
                System.arraycopy(lastPartition, 0, newPartition, 0, lastPartition.length);
                newPartition[posOfLastNotOne]--;
                newPartition[j]++;
                result.add(newPartition);
                break;
            }
        }
    }
    return result;
}

Answer 9

这是我的 Rust 实现（灵感来自 Python 算法和数据结构 ）：

#[derive(Clone)]
struct PartitionIter {
    pub n: u32,

    partition: Vec<u32>,
    last_not_one_index: usize,
    started: bool,
    finished: bool
}

impl PartitionIter {
    pub fn new(n: u32) -> PartitionIter {
        PartitionIter {
            n,
            partition: Vec::with_capacity(n as usize),
            last_not_one_index: 0,
            started: false,
            finished: false,
        }
    }
}

impl Iterator for PartitionIter {
    type Item = Vec<u32>;

    fn next(&mut self) -> Option<Self::Item> {
        if self.finished {
            return None
        }

        if !self.started {
            self.partition.push(self.n);
            self.started = true;
            return Some(self.partition.clone());
        } else if self.n == 1 {
            return None;
        }

        if self.partition[self.last_not_one_index] == 2 {
            self.partition[self.last_not_one_index] = 1;
            self.partition.push(1);
            if self.last_not_one_index == 0 {
                self.finished = true;
            } else {
                self.last_not_one_index -= 1;
            }
            return Some(self.partition.clone())
        }
        let replacement = self.partition[self.last_not_one_index] - 1;
        let total_replaced = replacement + (self.partition.len() - self.last_not_one_index) as u32;
        let reps = total_replaced / replacement;
        let rest = total_replaced % replacement;
        self.partition.drain(self.last_not_one_index..);
        self.partition.extend_from_slice(&vec![replacement; reps as usize]);
        if rest > 0 {
            self.partition.push(rest);
        }
        self.last_not_one_index = self.partition.len() - (self.partition.last().cloned().unwrap() == 1) as usize - 1;
        Some(self.partition.clone())
    }
}