如果我在这里并朝着那里前进并且我已经覆盖了这么多地方，那么我在哪里？

Question

我需要帮助编写以下方法：

def get_new_location(current_location, target_location, distance_travelled):
    ...
    ...
    return new_location

所有位置都在（纬度，经度）

我意识到地球有不同的模型（WGS-84，GRS-80，...），这些模型考虑到地球是一个椭球体。 就我的目的而言，这种精度水平是不必要的，假设完美的球体就足够了。

更新

我正在考虑一些回复来微调我的问题。

Benjismith 认为我的问题无法得到解答，因为地球上的点之间有不止一条最短路径。 他以选票的形式得到了很多支持，所以我想有些事情我不明白，因为我不同意。

任意两个位置之间的中点 球体上有一条圆弧。

我承认当两点完全相反时这是正确的。 我的意思是，两个点虽然保留在球体表面上，但彼此之间的距离不能再远。 在这种情况下，有无数条等距路径连接两个点。 然而，这是一种边缘情况，而不是规则。 在所有其他情况下，绝大多数情况下，都存在一条最短路径。

举个例子：如果你握住一根穿过两个点的绳子，并将其拉紧，那么绳子稳定下来的可能路径是否只有一条（除了已经讨论过的边缘情况）？

现在，在提出问题之前，获取两点和航向之间的距离不是问题。

我想我应该问的是以下问题是否有效：

def get_new_location(current_location, target_location, percent_traveled):
    new_location.lon = (1-percent_traveled)*current_location.lon+percent_traveled*target_location.lon
    new_location.lat = (1-percent_traveled)*current_location.lat+percent_traveled*target_location.lat
    return new_location

如果我要走这条路，我会遵循大圆、恒向线……还是会完全偏离？ （由于德鲁·霍尔的回答，我现在知道了这些术语。）

Answer 1

正如 BenjiSmith 所说，可能有几条路径连接任何 A 和 A 。 B 在地球仪上，但最受欢迎的两条（到目前为止！）是“大圆”和“恒向线”路径。

大圆给出最短距离（通过从两点和地球中心构建一个平面并遵循该平面中的圆弧）。

恒向线保持恒定的航向，牺牲一定距离（在高纬度地区可能会很远）以方便使用。 也就是说，在船上或飞机上，您只需指向所需的航向并一直行驶，直到到达目的地（而使用大圆圈时，航向会不断变化）。 在中纬度地区，距离损失并不太严重。

请注意，两种路径类型在处理对映点（球体上彼此相对的点）时都存在涉及极点的不连续性和模糊性。

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要构建一个大圆，您需要将这些点转换为 3D 笛卡尔坐标（我将省略此步骤，但对于球形地球来说这是微不足道的，并且对于扁地球模型（如 WGS-84）迭代地找到）。

设a为指向的单位向量
在从中心的起点
地球。

设b为指向的单位向量
在距离中心的终点处
地球。

设r为地球半径。

设d为（给定的）距离
旅行过。

通过计算单位向量a和b的叉积来构造垂直于GC平面的单位向量。 也就是说，令n = ax b。

（给定的）行进距离是矢量 *r***a** 绕 n 扫过某个角度 theta 所形成的弧长。 回想一下完整大圆的周长是 2 * pi * r，我们发现 theta = d/r >。

因此，通过围绕 n 旋转 *r***a** theta 弧度即可找到与新位置相对应的笛卡尔点。 将该笛卡尔点转换为纬度/经度和纬度 你完成了。

我不会在这里导出恒向线数学，但会说墨卡托地图投影具有恒向线是直的属性。 您可以使用墨卡托投影公式轻松构建恒向线，但您必须定义一些误差容限，以便可以将路径分成短的直线段。

祝你好运！

Answer 2

关于您更新的问题：

您似乎正在做的是纬度/经度坐标的线性插值。 这是一条有效路径，但它既不是大圆，也不是恒向线。 事实上，由于子午线随着纬度的增加而收敛（至少在北半球），纬度/经度意义上的平滑插值将导致地面上出现奇怪的加速路径。

如果您在笛卡尔坐标中描述插值，那么您至少会在正确的平面上移动，但路径将穿过地球表面（即，它将是大圆上的弦，而不是圆弧）。

Answer 3

这是一些应该可以解决问题的示例代码。 该算法适用于所有情况，并且始终遵循两个位置之间的最短大圆路径。 数学本质上与德鲁·霍尔的答案相同，但使用了percent_traveled并忽略了地球的半径。

为了简单起见，此代码假设纬度和经度以弧度存储。

def get_new_location(current_location, target_location, percent_traveled):

    # convert locations into cartiesian co-ordinates
    current_vector = location_to_vector(current_location)
    target_vector = location_to_vector(target_location)
    # compute the angle between current_vector and target_vector
    complete_angle = acos(vector_dot_product(current_vector, target_vector))
    # determine the current partial angle, based on percent_traveled
    partial_angle = percent_traveled*complete_angle
    # compute a temporary vector to simplify calculation
    temporary_vector = vector_cross_product(current_vector, target_vector)
    temporary_vector = vector_cross_product(current_vector, temporary_vector)
    # calculate new_vector
    scalar_one = cos(partial_angle)
    scalar_two = -sin(partial_angle)/sin(complete_angle)
    vector_one = vector_multiply_by_scalar(scalar_one, current_vector)
    vector_two = vector_multiply_by_scalar(scalar_two, temporary_vector)
    new_vector = vector_sum(vector_one, vector_two)
    # convert new_vector back into latitude & longitude and return
    new_location = vector_to_location(new_vector)
    return new_location

function to convert from latitude and longitude to cartesian co-oridinates:

def location_to_vector(location)
    vector.x = cos(location.lat)*sin(location.lon)
    vector.y = sin(location.lat)
    vector.z = cos(location.lat)*cos(location.lon)
    return vector

function to convert from cartesian co-oridinates to latitude and longitude:

def vector_to_location(vector)
    location.lat = asin(vector.y)
    if (vector.z == 0):
        if (vector.x < 0):
            location.lon = -pi/2
        else:
            location.lon = pi/2
    else:
        if (vector.z < 0):
            if (vector.x < 0):
                location.lon = atan(vector.x/vector.z) - pi
            else:
                location.lon = pi - atan(-vector.x/vector.z)
        else:
            if (vector.x < 0):
                location.lon = -atan(-vector.x/vector.z)
            else:
                location.lon = atan(vector.x/vector.z)
    return location

function to compute the dot-product of two vectors:

def vector_dot_product(A, B):
    dot_product = A.x*B.x + A.y*B.y + A.z*B.z
    return dot_product

function to compute the cross-product of two vectors:

def vector_cross_product(A, B):
    cross_product.x = A.y*B.z - A.z*B.y
    cross_product.y = A.z*B.x - A.x*B.z
    cross_product.z = A.x*B.y - A.y*B.x
    return cross_product

function to multiply a vector by a scalar:

def vector_multiply_by_scalar(scalar, vector)
    scaled_vector.x = scalar*vector.x
    scaled_vector.y = scalar*vector.y
    scaled_vector.z = scalar*vector.z
    return scaled_vector

function to compute the sum of two vectors:

def vector_sum(A, B)
    sum.x = A.x + B.x
    sum.y = A.y + B.y
    sum.z = A.z + B.z
    return sum

Answer 4

您更新的示例代码并不总是遵循正确的路径。

举个简单的例子，考虑太平洋中部赤道上的以下两点：

• current_location: lat = 0, lon = -179
• target_location: lat = 0, lon = 179

这两个点非常接近（只有两个点）经度分开），但当percent_traveled为0.5时，new_location将为：lat = 0，lon = 0，这是地球另一侧的点。

编辑：情况变得更糟

考虑北半球的以下两点：

• current_location: lat = 80, lon = 0
• target_location: lat = 80, lon = 180

这两点之间的大圆路径直接经过越过北极，但 new_location 会绕地球移动，并保持与赤道平行。