求一系列数字的最小公倍数

Question

我今天读了一篇有趣的 DailyWTF 帖子，“所有可能的答案...” 这让我很感兴趣，去挖掘原始的论坛帖子< /a> 提交的地方。 这让我思考如何解决这个有趣的问题 - 最初的问题是在 Project 上提出的欧拉为：

2520 是可以被每个数整除的最小数 1 到 10 之间没有余数的数字。

能被所有数整除的最小数是多少 1 到 20 之间的数字？

要将其改造成一个编程问题，如何创建一个可以找到任意数字列表的最小公倍数的函数？

尽管我对编程很感兴趣，但我对纯数学的了解非常糟糕，但经过一些谷歌搜索和一些实验后我能够解决这个问题。 我很好奇用户可能会采取哪些其他方法。 如果您愿意，请在下面发布一些代码，希望能附上解释。 请注意，虽然我确信存在计算各种语言的 GCD 和 LCM 的库，但我对比调用库函数更直接地显示逻辑的东西更感兴趣:-)

我最熟悉 Python、C、 C++ 和 Perl，但欢迎您喜欢的任何语言。 为像我这样的其他数学上有困难的人解释逻辑是加分的。

编辑：提交后我确实发现了这个类似的问题Least common multiple for 3 or morenumbers但它是用我已经弄清楚的相同基本代码回答，并且没有真正的解释，所以我觉得这是不同的，足以保持开放。

Answer 1

答案在因式分解或素幂方面根本不需要任何花哨的步法，而且肯定不需要埃拉托斯特尼筛法。

相反，您应该通过使用欧几里得算法计算 GCD 来计算单个对的 LCM（不需要因式分解，实际上速度明显更快）：

def lcm(a,b):
    gcd, tmp = a,b
    while tmp != 0:
        gcd,tmp = tmp, gcd % tmp
    return a*b/gcd

然后您可以使用上面的 lcm() 减少数组来找到总 LCM功能：

reduce(lcm, range(1,21))

Answer 2

这个问题很有趣，因为它不需要你找到任意一组数字的最小公倍数，而是给你一个连续的范围。 您可以使用埃拉托斯特尼筛法的变体来找到答案。

def RangeLCM(first, last):
    factors = range(first, last+1)
    for i in range(0, len(factors)):
        if factors[i] != 1:
            n = first + i
            for j in range(2*n, last+1, n):
                factors[j-first] = factors[j-first] / factors[i]
    return reduce(lambda a,b: a*b, factors, 1)

---

Edit: A recent upvote made me re-examine this answer which is over 3 years old. My first observation is that I would have written it a little differently today, using enumerate for example. A couple of small changes were necessary to make it compatible with Python 3.

第二个观察结果是，该算法仅在范围起始值等于或小于 2 的情况下才有效，因为它不会尝试筛选出范围起始值以下的公因数。 例如，RangeLCM(10, 12) 返回 1320，而不是正确的 660。

第三个观察结果是，没有人尝试将此答案与任何其他答案进行比较。 我的直觉告诉我，随着范围变大，这将比强力 LCM 解决方案有所改进。 测试证明我的直觉是正确的，至少这一次是这样。

由于该算法不适用于任意范围，因此我重写了它，假设范围从 1 开始。最后我删除了对 reduce 的调用，因为计算结果更容易因素产生了。 我相信新版本的函数更加正确并且更容易理解。

def RangeLCM2(last):
    factors = list(range(last+1))
    result = 1
    for n in range(last+1):
        if factors[n] > 1:
            result *= factors[n]
            for j in range(2*n, last+1, n):
                factors[j] //= factors[n]
    return result

以下是与原始方案和 Joe Bebel 提出的解决方案（称为 RangeEuclid）的一些时序比较在我的测试中。

>>> t=timeit.timeit
>>> t('RangeLCM.RangeLCM(1, 20)', 'import RangeLCM')
17.999292996735676
>>> t('RangeLCM.RangeEuclid(1, 20)', 'import RangeLCM')
11.199833288867922
>>> t('RangeLCM.RangeLCM2(20)', 'import RangeLCM')
14.256165588084514
>>> t('RangeLCM.RangeLCM(1, 100)', 'import RangeLCM')
93.34979585394194
>>> t('RangeLCM.RangeEuclid(1, 100)', 'import RangeLCM')
109.25695507389901
>>> t('RangeLCM.RangeLCM2(100)', 'import RangeLCM')
66.09684505991709

对于问题中给出的 1 到 20 的范围，欧几里得的算法击败了我的旧答案和新答案。 对于 1 到 100 的范围，您可以看到基于筛选的算法领先，尤其是优化版本。

Answer 3

有一个快速解决方案，只要范围是 1 到 N。

关键观察是，如果 n (p_1^a_1 * p_2^a_2 * ... p_k * a_k，
那么它将为 LCM 贡献与 p_1^a_1 和 p_2^a_2、... p_k^a_k 完全相同的因子。 并且这些幂中的每一个也都在 1 到 N 的范围内。 因此，我们只需要考虑小于 N 的最高纯素数幂。

例如，对于 20，我们将

2^4 = 16 < 20
3^2 = 9  < 20
5^1 = 5  < 20
7
11
13
17
19

得到了 So 所需的结果

2*2*2*2*3*3*5*7*11*13*17*19 = 232792560

所有这些素数幂相乘，我们在伪代码中

def lcm_upto(N):
  total = 1;
  foreach p in primes_less_than(N):
    x=1;
    while x*p <= N:
      x=x*p;
    total = total * x
  return total

：现在，您可以调整内部循环，使其工作方式与获得更快的速度，并且您可以预先计算 primes_less_than(N) 函数。

编辑：

由于最近的投票，我决定重新审视这一点，看看与其他列出的算法的速度比较如何。

针对 Joe Beibers 和 Mark Ransoms 方法，10k 次迭代的范围 1-160 的计时如下：

Joes ： 1.85s
分数：3.26秒
我的：0.33s

这是一个双对数图，结果最多为 300。

代码我的测试可以在这里找到：

import timeit


def RangeLCM2(last):
    factors = range(last+1)
    result = 1
    for n in range(last+1):
        if factors[n] > 1:
            result *= factors[n]
            for j in range(2*n, last+1, n):
                factors[j] /= factors[n]
    return result


def lcm(a,b):
    gcd, tmp = a,b
    while tmp != 0:
        gcd,tmp = tmp, gcd % tmp
    return a*b/gcd

def EuclidLCM(last):
    return reduce(lcm,range(1,last+1))

primes = [
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 
 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 
 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 
 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 
 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 
 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 
 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 
 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 
 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 
 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 
 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 
 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 
 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 
 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 
 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 
 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 
 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 ]

def FastRangeLCM(last):
    total = 1
    for p in primes:
        if p>last:
            break
        x = 1
        while x*p <= last:
            x = x * p
        total = total * x
    return total


print RangeLCM2(20)
print EculidLCM(20)
print FastRangeLCM(20)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(20)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(20)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(20)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(40)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(40)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(40)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(60)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(60)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(60)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(80)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(80)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(80)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(100)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(100)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(100)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(120)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(120)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(120)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(140)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(140)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(140)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(160)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(160)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(160)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

Answer 4

Haskell 中的单行代码。

wideLCM = foldl lcm 1

这是我在自己的 Project Euler Problem 5 中使用的。

Answer 5

在 Haskell 中：

listLCM xs =  foldr (lcm) 1 xs

您可以传递一个列表，例如：

*Main> listLCM [1..10]
2520
*Main> listLCM [1..2518]
266595767785593803705412270464676976610857635334657316692669925537787454299898002207461915073508683963382517039456477669596355816643394386272505301040799324518447104528530927421506143709593427822789725553843015805207718967822166927846212504932185912903133106741373264004097225277236671818323343067283663297403663465952182060840140577104161874701374415384744438137266768019899449317336711720217025025587401208623105738783129308128750455016347481252967252000274360749033444720740958140380022607152873903454009665680092965785710950056851148623283267844109400949097830399398928766093150813869944897207026562740359330773453263501671059198376156051049807365826551680239328345262351788257964260307551699951892369982392731547941790155541082267235224332660060039217194224518623199770191736740074323689475195782613618695976005218868557150389117325747888623795360149879033894667051583457539872594336939497053549704686823966843769912686273810907202177232140876251886218209049469761186661055766628477277347438364188994340512556761831159033404181677107900519850780882430019800537370374545134183233280000

Answer 6

一个或多个数字的最小公倍数是所有数字中所有不同素数因子的乘积，每个素数是该素数出现在正在取最小公倍数的数字中的所有幂的最大值的幂。

假设 900 = 2^3 * 3^2 * 5^2，26460 = 2^2 * 3^3 * 5^1 * 7^2。
2的最大幂为3，3的最大幂为3，5的最大幂为1，7的最大幂为2，任何更高素数的最大幂为0。
所以最小公倍数为：264600 = 2^3 * 3^3 * 5^2 * 7^2。

Answer 7

print "LCM of 4 and 5 = ".LCM(4,5)."\n";

sub LCM {
    my ($a,$b) = @_;    
    my ($af,$bf) = (1,1);   # The factors to apply to a & b

    # Loop and increase until A times its factor equals B times its factor
    while ($a*$af != $b*$bf) {
        if ($a*$af>$b*$bf) {$bf++} else {$af++};
    }
    return $a*$af;
}

Answer 8

Haskell 中的算法。 这就是我现在用于算法思维的语言。 这可能看起来很奇怪、复杂并且没有吸引力——欢迎来到 Haskell！

primes :: (Integral a) => [a]
--implementation of primes is to be left for another day.

primeFactors :: (Integral a) => a -> [a]
primeFactors n = go n primes where
    go n ps@(p : pt) =
        if q < 1 then [] else
        if r == 0 then p : go q ps else
        go n pt
        where (q, r) = quotRem n p

multiFactors :: (Integral a) => a -> [(a, Int)]
multiFactors n = [ (head xs, length xs) | xs <- group $ primeFactors $ n ]

multiProduct :: (Integral a) => [(a, Int)] -> a
multiProduct xs = product $ map (uncurry (^)) $ xs

mergeFactorsPairwise [] bs = bs
mergeFactorsPairwise as [] = as
mergeFactorsPairwise a@((an, am) : _) b@((bn, bm) : _) =
    case compare an bn of
        LT -> (head a) : mergeFactorsPairwise (tail a) b
        GT -> (head b) : mergeFactorsPairwise a (tail b)
        EQ -> (an, max am bm) : mergeFactorsPairwise (tail a) (tail b)

wideLCM :: (Integral a) => [a] -> a
wideLCM nums = multiProduct $ foldl mergeFactorsPairwise [] $ map multiFactors $ nums

Answer 9

这是我的 Python 尝试：

#!/usr/bin/env python

from operator import mul

def factor(n):
    factors = {}
    i = 2 
    while i <= n and n != 1:
        while n % i == 0:
            try:
                factors[i] += 1
            except KeyError:
                factors[i] = 1
            n = n / i
        i += 1
    return factors

base = {}
for i in range(2, 2000):
    for f, n in factor(i).items():
        try:
            base[f] = max(base[f], n)
        except KeyError:
            base[f] = n

print reduce(mul, [f**n for f, n in base.items()], 1)

第一步获取数字的质因数。 第二步构建一个包含每个因素出现的最大次数的哈希表，然后将它们相乘。

Answer 10

这可能是迄今为止我见过的最干净、最短的答案（无论是从代码行数来看）。

def gcd(a,b): return b and gcd(b, a % b) or a
def lcm(a,b): return a * b / gcd(a,b)

n = 1
for i in xrange(1, 21):
    n = lcm(n, i)

来源：http://www.s-anand.net/euler.html

Answer 11

这是我在 JavaScript 中的回答。 我首先从素数开始解决这个问题，并开发了一个很好的可重用代码函数来查找素数和素因数，但最终认为这种方法更简单。

我的答案没有什么独特之处没有在上面发布，它只是在 Javascript 中，我没有具体看到。

//least common multipe of a range of numbers
function smallestCommons(arr) {
   arr = arr.sort();
   var scm = 1; 
   for (var i = arr[0]; i<=arr[1]; i+=1) { 
        scm =  scd(scm, i); 
    }
  return scm;
}


//smallest common denominator of two numbers (scd)
function scd (a,b) {
     return a*b/gcd(a,b);
}


//greatest common denominator of two numbers (gcd)
function gcd(a, b) {
    if (b === 0) {  
        return a;
    } else {
       return gcd(b, a%b);
    }
}       

smallestCommons([1,20]);

Answer 12

这是我的 javascript 解决方案，希望您能轻松理解：

function smallestCommons(arr) {
  var min = Math.min(arr[0], arr[1]);
  var max = Math.max(arr[0], arr[1]);

  var smallestCommon = min * max;

  var doneCalc = 0;

  while (doneCalc === 0) {
    for (var i = min; i <= max; i++) {
      if (smallestCommon % i !== 0) {
        smallestCommon += max;
        doneCalc = 0;
        break;
      }
      else {
        doneCalc = 1;
      }
    }
  }

  return smallestCommon;
}

Answer 13

这是使用C Lang的解决方案

#include<stdio.h>
    int main(){
    int a,b,lcm=1,small,gcd=1,done=0,i,j,large=1,div=0;
    printf("Enter range\n");
    printf("From:");
    scanf("%d",&a);
    printf("To:");
    scanf("%d",&b);
    int n=b-a+1;
    int num[30];
    for(i=0;i<n;i++){
        num[i]=a+i;
    }
    //Finds LCM
    while(!done){
        for(i=0;i<n;i++){
            if(num[i]==1){
                done=1;continue;
            }
            done=0;
            break;
        }
        if(done){
            continue;
        }
        done=0;
        large=1;
        for(i=0;i<n;i++){
            if(num[i]>large){
                large=num[i];
            }
        }
        div=0;
        for(i=2;i<=large;i++){
            for(j=0;j<n;j++){
                if(num[j]%i==0){
                    num[j]/=i;div=1;
                }
                continue;
            }
            if(div){
                lcm*=i;div=0;break;
            }
        }
    }
    done=0;
    //Finds GCD
    while(!done){
        small=num[0];
        for(i=0;i<n;i++){
            if(num[i]<small){
                small=num[i];
            }
        }
        div=0;
        for(i=2;i<=small;i++){
            for(j=0;j<n;j++){
                if(num[j]%i==0){
                    div=1;continue;
                }
                div=0;break;
            }
            if(div){
                for(j=0;j<n;j++){
                    num[j]/=i;
                }
                gcd*=i;div=0;break;
            }
        }
        if(i==small+1){
            done=1;
        }
    }
    printf("LCM = %d\n",lcm);
    printf("GCD = %d\n",gcd);
    return 0;
}

Answer 14

在扩展@Alexander的评论时，我想指出，如果你能将数字分解为素数，删除重复项，然后相乘，你就会得到答案。

例如，1-5 的质因数为 2,3,2,2,5。 从“4”的因子列表中删除重复的“2”，得到 2,2,3,5。 将它们相乘得到 60，这就是你的答案。

上一条评论中提供的 Wolfram 链接 http://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html 采用更正式的方法，但上面是简短的版本。

干杯。