从成对距离集中确定点

Question

给定点之间的距离矩阵，是否有一种算法可以确定具有这些距离的一组 n 维点？ （或者至少最小化误差）

有点像收费公路问题的 n 维版本。

我能想到的最好的方法是使用多维缩放。

Answer 1

多维缩放 (MDS) 的方向是正确的，但 MDS 对于大型数据集来说是不切实际的，因为它的时间复杂度是点数的二次方。 您可能想看看 FastMap，它具有线性时间复杂度并且更适合索引。 看：

Christos Faoutsos 和 King-Ip Lin：
“FastMap：一种快速算法
索引、数据挖掘和
传统与可视化
多媒体数据集，位于 Proc 中。
SIGMOD，1995，doi:10.1145/223784.223812

Answer 2

您可以“作弊”并为此使用迭代数值方法。 最初将所有点置于一些“随机”位置，然后循环遍历它们，将它们按所需距离的比例彼此远离。 这会更喜欢一些点，但在应用它们之前对移动进行平均，然后应用平均值将消除这个问题。 这是一个 O(n²) 算法，但实现和理解非常简单。 在下面的二维示例中，错误为 << 10%，但如果给出的距离不切实际，它可能表现得不太好。

C++ 示例：

#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define DAMPING_FACTOR 0.99f

class point
{
public:
    float x;
    float y;
public:
    point() : x(0), y(0) {}
};

// symmetric matrix with distances
float matrix[5][5] =    {
                            { 0.0f, 4.5f, 1.5f, 2.0f, 4.0f },
                            { 4.5f, 0.0f, 4.0f, 3.0f, 3.5f },
                            { 1.5f, 4.0f, 0.0f, 1.0f, 5.0f },
                            { 2.0f, 3.0f, 1.0f, 0.0f, 4.5f },
                            { 4.0f, 3.5f, 5.0f, 4.5f, 0.0f }
                        };
int main(int argc, char** argv)
{
    point p[5];
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        p[i].x = (float)(rand()%100)*0.1f;
        p[i].y = (float)(rand()%100)*0.1f;
    }

    // do 1000 iterations
    float dx = 0.0f, dy = 0.0f, d = 0.0f;
    float xmoves[5], ymoves[5];

    for(unsigned int c = 0; c < 1000; ++c)
    {
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i) xmoves[i] = ymoves[i] = 0.0f;
        // iterate across each point x each point to work out the results of all of the constraints in the matrix
        // collect moves together which are slightly less than enough (DAMPING_FACTOR) to correct half the distance between each pair of points
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            if(i==j) continue;
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            d = sqrt(dx*dx + dy*dy);
            dx /= d;
            dy /= d;
            d = (d - matrix[i][j])*DAMPING_FACTOR*0.5f*0.2f;

            xmoves[i] -= d*dx;
            ymoves[i] -= d*dy;

            xmoves[j] += d*dx;
            ymoves[j] += d*dy;
        }

        // apply all at once
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
        {
            p[i].x += xmoves[i];
            p[i].y += ymoves[i];
        }
    }

    // output results
    printf("Result:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            printf("%f ", sqrt(dx*dx + dy*dy));
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("\r\nDesired:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            printf("%f ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("Absolute difference:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            printf("%f ", abs(sqrt(dx*dx + dy*dy) - matrix[i][j]));
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("Press any key to continue...");

    while(!_kbhit());

    return 0;
}

Answer 3

集体智能编程，第 11 页中有一个用于执行此操作的算法。 49，“查看二维数据”，可适用于 n 维。

嘿——这是多维尺度——所以我猜你走在正确的轨道上。

Answer 4

我无法编辑原文，因为我没有足够的代表，但我尝试在这里重述问题。

OP 有一个输入 NxN 距离矩阵。 他想要创建一个输出数组，大小为 N，由代表点的 N 维坐标组成，其中每个点之间的距离存储在输入矩阵中。

请注意，这在一般情况下是无法解决的：

假设我有一个像这样的矩阵，

   A  B  C  
A  x  1  2  
B     x  0  
C        x  

A 距离 B 1 个距离单位（比如 1 米），A 距离 C 1 米。但是 B 和 C 在同一位置点。

在这种特殊情况下，最小误差总和为 1 米，并且有无数种解决方案可以实现该结果