如何在给定外接矩形的情况下找到椭圆长轴的旋转角度？

Question

我有一个以 (0,0) 为中心的椭圆，边界矩形为 x = [-5,5]，y = [-6,6]。 椭圆与矩形相交于 (-5,3)、(-2.5,6)、(2.5,-6) 和 (5,-3)

我对椭圆一无所知，但我唯一需要知道的是主轴旋转的角度。

看起来答案一定很简单，但我只是没有看到它......感谢您的帮助！

Answer 1

如果 (0, 0) 是中心，则椭圆的方程为：

F(x, y) = Ax^2 +By^2 + Cxy + D = 0

对于任何给定的椭圆，并非所有系数 A、B 、C和D是唯一确定的。 可以将该方程乘以任何非零常数并获得同一椭圆的新方程。

你有 4 个点，给你 4 个方程，但由于这些点是两对对称点，所以这些方程不会独立。 你会得到2个独立的方程。 利用椭圆与软管点中的矩形相切的事实，您可以得到另外两个方程（这就是我的理解）。

因此，如果 F(x, y) = Ax^2 +By^2 + Cxy + D 您的条件是：
dF/dx = 0 点 (-2.5,6) 和 (2.5,-6)
dF/dy = 0 在点 (-5,3) 和 (5,-3) 中

得到的四个线性方程

F(5, -3) = 5^2 * A + (-3)^2 * B + (-15) * C + D = 0  
F(2.5, -6) = (2.5)^2 * A + (-6)^2 * B + (-15) * C + D = 0  
dF(2.5, -6)/dx = 2*(2.5) * A + (-6) * C = 0  
dF(5, -3)/dy = 2*(-3) * B + 5 * C = 0  

这是经过一些清理后

   25A +  9B - 15C + D = 0 //1
6.25A + 36B - 15C + D = 0 //2
   5A       -  6C     = 0 //3
      -  6B +  5C     = 0 //4

：仍然不是所有 4 个方程都是独立的，这是一件好事。 该集合是同质的，如果它们是独立的，您将得到唯一但无用的解决方案 A = 0，B = 0，C = 0，D = 0。

正如我之前所说，系数不是唯一确定的，因此您可以设置其中一个系数如你所愿并摆脱一个方程式。 例如，

   25A + 9B - 15C = 1 //1
   5A      -  6C = 0 //3
      - 6B +  5C = 0 //4

从中你可以得到：A = 4/75，B = 1/27，C = 2/45（D当然是-1）

现在，为了得到角度，应用坐标变换：（

x = ξcos(φ) - ηsin(φ)
y = ξsin(φ) + ηcos(φ)

我只是不能不要抗拒使用这些字母:) )
方程 F(x, y) = 0

F(x(ξ, η), y(ξ, η)) = G(ξ, η) =
  A (ξ^2cos^2(φ) + η^2sin^2(φ) - 2ξηcos(φ)sin(φ))
+ B (ξ^2sin^2(φ) + η^2cos^2(φ) + 2ξηcos(φ)sin(φ))
+ C (ξ^2cos(φ)sin(φ) - η^2cos(φ)sin(φ) + ξη(cos^2(φ) - sin^2(φ))) + D

使用这两个恒等式：

2cos(φ)sin(φ) = sin(2φ)
cos^2(φ) - sin^2(φ) = cos(2φ)

您将得到系数 C'，它表示 G(xi, η) 中的乘积 xiη 为：

C' = (BA)sin(2φ) + Ccos (2φ)

现在你的问题是：对于什么角度 φ 系数 C' 消失（等于零）
由于存在多个轴，因此存在多个角度 φ。 在主轴线B'＞的情况下， A'

Answer 2

椭圆的梯度与沿椭圆一侧的边界矩形相交的梯度相同。 就您而言，这是从 (-2.5,6) 到 (5,-3) 的线，即椭圆的顶边。 该线的垂直落差为 9，水平落差为 7.5。

所以我们最终得到下面的直角三角形。

(-2.5,6)
  *-----
  |\x
  | \
  |  \
9 |   \
  |    \
  |    x\
  +------* (5,-3)
    7.5

我们要寻找的角度是 x，它在两个位置都是相同的。

我们可以将其计算为：

   -1
tan   (9/7.5)

角度为 -50.19 度

Answer 3

1. 设置椭圆的角度 = 0
2. 计算 4 个交点
3. 计算计算出的交点与所需交点之间的误差（即 4 个距离之和）。
4. 请使用割线法或 Newton-Rhapson 计算出椭圆的新角度，然后转到 2。

我使用类似的方法来计算另一个椭圆问题：

如果误差太大， net/2008/07/18/a-mathematical-digression/" rel="nofollow noreferrer">http://successfulsoftware.net/2008/07/18/a-mathematical-digression/

http://successfulsoftware.net/2008/08/25/a-mathematical-digression -revisited/

另请参阅：

http://en.wikipedia.org/wiki/Secant_method< /a>

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_Rhapson