32位intel的CPU中，int类型为什么最小值为-(2^31) ?

Question

最近在看《深入理解计算机系统》，里面说，在32位计算机中，对于int类型，最小值是通常为-(2^31)
用二进制补码表示是[1000...0000]
而我觉得最小值
用二进制补码表示应该是[1000...0001]
也就是-(2^31)+1

按照补码的运算规则，[1000...0000]的值应该也是0吧？
诸位帮我解释一下。

[ 本帖最后由 janusle 于 2007-3-22 21:25 编辑 ]

Answer 1

其实二进制补码还有一个更简单的计算方法:

以 32 bit 的位模式为例. 假设其最高位(即最左边的bit 位, 也即符号位)为 s, 该 32 bit 位模式按无符号二进制数解释表示的十进制数为 b, 则该位模式按照二进制补码解释表示的十进制数即为 b - s * 2^32.

按照这种解释, 应该就很清楚了. 另外, 这种解释在 <<深入理解计算机系统>> 里面也是有说到的.

[ 本帖最后由 MMMIX 于 2007-3-23 04:37 编辑 ]

Answer 2

不用想那么复杂，拿 4 位值来举个例子

MSB 为符号位，那么，很明显：

正数的取值范围是： 0 000 ～ 0 111， 也就是说最小值是 0 ,   最大值是 7
负数的取值范围是： 1 000 ～ 1 111， 也就是说最小值是 1000（-8）， 最大值是 1111 （-1)

1000 为什么是 -8，可以简单算一算

      1  000
取反  0 111
    +           1
-----------------
          1000     符号位为负，所以是 - 8

Answer 3

原帖由 mik 于 2007-3-23 12:57 发表于 3楼  
不用想那么复杂，拿 4 位值来举个例子

MSB 为符号位，那么，很明显：

正数的取值范围是： 0 000 ～ 0 111， 也就是说最小值是 0 ,   最大值是 7
负数的取值范围是： 1 000 ～ 1 111， 也就是说最小值是  ...

我不赞同这种解释。

Answer 4

我学微机原理的时候好像说得是因为＋0和－0是一样的，浪费一个编码，就把－0规定成－2^31啦～反正所谓的编码都是人为规定的嘛～就当是反码规定的一部分喽～

Answer 5

以 4 位为例，我的理解是：
有符号数原码：
0 000 ~ 0 111   +0 ~ +7       前面的 0 表示是正数。
1 000 ~ 1 111   -0  ~ -7        前面的 1 表示是负数。
因为 +0 和 -0 实际上是相等的，也就是说，0 用原码表示的话有两种方式，这样的编码虽然人看起来要好懂一些，但是对于计算机来讲，有三个坏处：
1，违反了唯一性
2，浪费了一个位模式（排列方式）。因为理论上来讲 4 位二进制能表示 2^4 = 16 个不同的数，但是这里只表示了 -7 ~ +7 15 个数。
3，-7 明明是小于 -0 的，但是如果不把最高位当作符号位来看的话，1000 要比 1111 小。
我着重讲一下第三点。因为我们最终的目标是让符号也能够参与运算，也就是说，任何两个有符号数比较大小的时候，我们希望只需要减一下就可以了，因此原码的 1000 和 1111 它的顺序是反的，很不利于运算。
-128 在原码里是无法表示的。

基于以上三个原因，就引进了补码，在介绍补码之前，我先介绍一下反码：
正数的反码就是原码：
0 000 ~ 0 111   +0 ~ +7     反码
负数的反码就是对原码除符号位以外的其余各位进行取反：
1 111 ~ 1 000   -0  ~ -7      反码
这么做的好处是什么呢？好处是，解决了上面三个问题中的第三个问题。
但是另外两个问题还是没有解决。

下面引入的补码，就是为了解决另外两个问题。
补码：
补码的规则是：正数的补码和原码、反码形式相同。
负数的补码，等于反码 + 1，加 1 的时候，符号位也参与运算，溢出位被丢弃，不影响结果。
也就是说：
0 000 ~ 0 111     +0 ~ +7    补码
(1)0 000 ~ 1 001     -0  ~ -7     补码。
注意反码的 -0 也就是 1111 加了 1 之后，符号位产生了进位，溢出了，溢出之后，剩下的部分正好和 +0 一样了。
也就是说，第一个问题也解决了。

第一个问题解决了，那么就剩下第二个问题了，
因为从 -0 到 -7 依次是：
-7:  1 001
-6:  1 010
-5:  1 011
-4:  1 100
-3:  1 101
-2:  1 110
-1:  1 111
-0:  0 000
+1: 0 001
+2: 0 010
...
...
...
也就是说，还剩下 1 000 这个位模式是没用的，
因此就可以用它来表示其它的数。但是到底应该用它来表示 +128 好呢？还是 -128 好呢？
观察上面的序列，你会发现，如果溢出是正常的话，
上面的数列正好是连续的，
而 1 000 比 1 001 还要小 1，因此用来表示 -128 是合理的。加 1 之后正好等于 -127。
因此就用 1 000 来表示 -128 了。

[ 本帖最后由 flw 于 2007-3-23 14:29 编辑 ]

Answer 6

受教了，感谢flw，感谢mik,感谢诸位

Answer 7

原帖由 flw 于 2007-3-23 14:25 发表于 6楼  
以 4 位为例，我的理解是：
有符号数原码：
0 000 ~ 0 111   +0 ~ +7       前面的 0 表示是正数。
1 000 ~ 1 111   -0  ~ -7        前面的 1 表示是负数。
因为 +0 和 -0 实际上是相等的，也就是说，0 用 ...

说得确实精彩。

而 1 000 比 1 001 还要小 1，因此用来表示 -128 是合理的。加 1 之后正好等于 -127。
因此就用 1 000 来表示 -128 了。

计算负数补码的值是很简单的，有一个公式，就以上例 4 位数（1000）为例：

公式为： ( X3 * - 2^(n-1) ) + ( X2 * 2^(n-2) ) + ( X1 * 2^(n-3) ) +  ( X0 * 2^(n-n))
          = (1 * - 2^3)  +  (0 * 2^2)  +  (0 * 2^1)   +  (0 * 2^0)
          = -8 + 0 + 0 + 0
          = -8

每个式子的结果都是可以计算出来的。

所以：
      1000
~       0111
+             1
--------------
            - 8    （由于上述公式所述，就是因为符号位为负，即等于 -8 )

或许大家理解不同，但我偏重于实际。

[ 本帖最后由 mik 于 2007-3-23 21:28 编辑 ]

Answer 8

原帖由 mik 于 2007-3-23 21:27 发表于 8楼  
      1  000
取反  0 111
    +           1
-----------------
          1000     符号位为负，所以是 - 8

请问在你的这个式子中，第一个 1000 是什么码？0111 是什么码？第二个 1000 又是什么码？

Answer 9

原帖由 flw 于 2007-3-25 19:25 发表于 9楼  

请问在你的这个式子中，第一个 1000 是什么码？0111 是什么码？第二个 1000 又是什么码？

汗~~ 你还在抓概念

1、
你的精彩理论的论述，我相信在大多数计算机基础的书籍都能找到。关键是灵活掌握，总结适合自己的方法。
况且，你最后给出的答案是错误的。1000 居然等于 -128

我所说的式子是我自己总结出来的一种计算方法，并不能涉及概念性问题。我并没有对式子中的哪个数作“定义性”的描述，只是说“取反”，“+1”。只是计算的方法而已。是方便我计算的。式子中第1个1000是补码，正确来说是“2的补码”，0111是反码，正确来说是“1的补码”，第二个1000我说不出来。

比较正规的计算方法，如我所说的：

1. 公式为： ( X3 * - 2^(n-1) ) + ( X2 * 2^(n-2) ) + ( X1 * 2^(n-3) ) +  ( X0 * 2^(n-n))
2.           = (1 * - 2^3)  +  (0 * 2^2)  +  (0 * 2^1)   +  (0 * 2^0)
3.           = -8 + 0 + 0 + 0
4.           = -8

复制代码

另一个简单方法，可以：

1. 1101 = ？
2. 1101 = 1000 + 100 + 1 = -8 + 4 + 1 = -3

复制代码

2、你所说的人为规定我并不赞同。只有两种情况下才会有 +0 以及 -0 存在，就是浮点数
对单精度数来说：

1. 0x00000000 = +0.0
2. 0x80000000 = -0.0

复制代码这种情况是并存的，并不矛盾。

就拿 8 位数来说：
10000000  = -128，是通常计算出来的，不是“用来表示-128”这种概念

对符号数来说：10000000 就是个模值。-1 回卷0111 1111（127）  +1 进值 10000001 (-127)