关于n态数字电路的数学描述

Question

之所以想到写这个，来源于我前段时间的突发奇想。恕我孤陋寡闻，我并没有找到关于这方面的资料，于是就想自己建建模，看看能否得出点什么结论。当然，如果有人告诉我有这方面的研究，不胜感激。
    所谓n态逻辑，就是在这种电路中，会存在n个不同的态，就如同我们平常所见到的两态一样，高电平，低电平。
另外，这只是数学上的描述，与实际有没有这样的电路无关。再者，我只是想到就写，最近时间也不是很多，研究的时间更没有多少，更新可能很慢。
    最后，鄙人数学水平实在有限，我只是作一个尝试，出于兴趣。是否可以得到一些有趣乃至有用的结果不得而知，请不要给于太大的期望。

Answer 1

类似于我们平常的数字电路中有高低电平两态，n态逻辑有n个态(我们忽略所有的类似于亚稳态的东西，这属于物理范畴，而不应属于数学范畴)，我们记这n个态为0,1,...n-1,我们记集合{0,1,...n-1}为Sn.

笛卡儿积: 对于集合A,B,我们定义集合{(a,b)|a为A的元素且b为B的元素}为A与B的笛卡儿积，记为A X B

A X A X A...A  记为A^m
一共m个A
另外：A^1为A,A^0无定义

n态逻辑函数(n态组合逻辑)：
Sn^a到Sn^b的一个映射，
a为输入位宽，b为输出位宽
Sn^a为函数的定义域，值域为Sn^b的子集

n态时序逻辑:
G(input,status)
input为时序逻辑的输入
status为时序逻辑的状态
它由两个n态逻辑函数组成
F1(input,status)为输出逻辑函数
F2(input,input2,status)为输出状态函数，input2与input位宽一致,F2的输出位宽与status位宽一致,且若input2与input完全一致时,F2的输出与status完全一致
可以记G为[F1,F2]
注:这里输出状态函数中,(input,input2)代表着时序逻辑输入的变化,或者说"沿".但鄙人暂时并没有完全想好如何定义n态时序逻辑,以上的定义可能会被修改

[ 本帖最后由 cjaizss 于 2009-8-12 09:01 编辑 ]

Answer 2

n态门级组合逻辑：
输入宽度为2，输出宽度为1的组合逻辑函数称之为n态门级组合逻辑，简称逻辑门
根据组合数学，可以计算出这样的不同门级组合逻辑一共n^(n^2)个不同的逻辑门
注:^表示乘方

复合函数:
对于已知的n态组合逻辑函数
f(x1,...xn)
f1(X1:1...X1:m1) (注: 1:1是表示下标)
f2(X2:1...X2:m2)
...
fn(Xn:1...Xn:mn)
f(f1(X1:1...X1:m1),...,fn(Xn:1...Xn:mn))
是一个以(x1:1 ... xn:mn)为输入的n态组合逻辑函数
记作
F=f(f1...fn)

这里之所以要提n态门级组合逻辑，我们知道对于我们所熟悉的两态组合逻辑，任何组合逻辑都可以拿与或非门搭出来，这种搭建其实可以用数学中的复合函数来表示，两者是等价的。虽然非门是一入一出，但我们仍然可以把它看成是两入一出，只是其中一入没有作用。
另外，我们忽略没有输入（即输入宽度为0）的组合逻辑，而把它看成是一个有一输入的组合逻辑。
于是其实n态门级组合逻辑也可以用这里的门级逻辑来搭建，可以证明任何n态门级组合逻辑都可以用这n^(n^2)个门级依次搭建出来。
这是接下去要证明的一个命题。