证明含有双阶乘的不等式

Question

证明对于整数$n \ge 1$

$$ 2(\sqrt{n+1}-1) \le \sum_{k=1}^n \frac{(k-1)!!}{k!!} $$

其中$!!$为双阶乘运算。

Answer 1

根据$n$的奇偶性分开讨论。以下只讨论偶数的情况。若$n$为奇数，可用类似方法证明，过程略。

若$n$为偶数 $n = 2m$：

$$
\array{
& & \sum_{k=1}^n \frac{(k-1)!!}{k!!} \hfill \\
&=& \sum_{k=1}^m \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} + \sum_{k=1}^m \frac{(2k-2)!!}{(2k-1)!!} \hfill & \text{(奇偶项分开求和)} \hfill\\
&=& \sum_{k=1}^m \frac{(k-1/2)!}{k!} + \sum_{k=1}^m \frac{(k-1)!}{2(k-1/2)!} \hfill & \text{(分子分母连续约去公因子2)} \hfill\\
&=& \left(\frac{2(m+1/2)!}{m!}-1\right) + \left(\frac{m!}{(m-1/2)!}-1\right) \hfill & \text{(可归纳证明，见下文)} \hfill \\
&\ge& 2\sqrt{\frac{2(m+1/2)!}{(m-1/2)!}}-2 \hfill & \text{(基本不等式)} \hfill\\
&=& 2\sqrt{2(m+1/2)}-2 \hfill \hfill\\
&=& 2 (\sqrt{n+1}-1) \hfill
}
$$

第二步中，仍用符号$!$表示半整数的阶乘，比如$(5/2)! = (5/2)(3/2)(1/2)$。第三步的结论可用归纳法。比如证明

$$
\sum_{k=1}^m \frac{(k-1/2)!}{k!} = \frac{2(m+1/2)!}{m!}-1
$$

只要验证$m=1$时等式成立，并且

$$
\array{
& & \frac{2(m+1/2)!}{m!}-1 + \frac{(m+1-1/2)!}{(m+1)!} \hfill \\
&=& \frac{(m+1/2)!(2(m+1)+1)}{(m+1)!} -1 \hfill \\
&=& \frac{2((m+1)+1/2)!}{(m+1)!} -1 \hfill
}
$$

Answer 2

n = 1、2时显然成立

假设n=m时成立，则：

$$
2(\sqrt{m+1} - 1) \le \sum_{k=1}^m \frac{(k-1)!!}{k!!}
$$

$$
2(\sqrt{m} - 1) \le \sum_{k=1}^{m-1} \frac{(k-1)!!}{k!!}
$$

$$
2(\sqrt{m-1} - 1) \le \sum_{k=1}^{m-2} \frac{(k-1)!!}{k!!}
$$

当n=m+1时：

$$
左侧 = 2(\sqrt{m+2} - 1)
$$

$$
右侧 = \sum_{k=1}^{m+1} \frac{(k-1)!!}{k!!} = \sum_{k=1}^m \frac{(k-1)!!}{k!!} + \frac{m!!}{(m+1)!!}
$$

因此只要证明下式即可：

$$
\sum_{k=1}^m \frac{(k-1)!!}{k!!} + \frac{m!!}{(m+1)!!} - 2(\sqrt{m+2} - 1) \ge 0
$$

……

接下来就是想办法证明这个不等式。但是把

$$
\sum_{k=1}^m \frac{(k-1)!!}{k!!}
$$

直接替换成：

$$
2(\sqrt{m+1} - 1)
$$

不行（我之前就是这么做的），会导致缩放过头。目前还没想到证明方法。

另外

$$
\frac{m!!}{(m+1)!!}
$$

可以写成

$$
\frac{(m-2)!!}{(m-1)!!} * \frac{m}{m+1}
$$

这个可能可以用在推导过程中。