超大数的运算问题

Question

在一个问题中遇到的需要求这样的一个表达式：

应该如何计算可以得到结果？如果用龙贝格积分计算是算不出来的，伽马函数用定义算也求不出来。请问应该使用什么算法？

Answer 1

前面倒是好说，后面的积分不太好算呀

Answer 2

怀疑题目有笔误。左下角数字应该是251528。这样分式部分就正好是Beta函数的定义：

$$\frac{\Gamma(m+n)}{\Gamma(m)\ \Gamma(n)}=\frac{1}{B(n,m)}$$

积分部分，是不完全Beta函数的定义：

$$\int_0^{\frac{1}{2}} \theta ^{n-1} (1-\theta )^{m-1} \, d\theta=B_{\frac{1}{2}}(n,m)$$

两者乘积叫做正则化不完全Beta函数（Regularized Beta Function）。

$$\frac{B_{\frac{1}{2}}(n,m)}{B(n,m)}=I_{\frac{1}{2}}(n,m)$$

这个函数正好是Beta分布的累积分布函数（CDF），所以许多软件包都能计算。比如Excel：

结果并没有超出计算机浮点数的表示范围。