关于插入排序算法的效率和希尔排序的理解问题

Question

插入排序：对于随机排列长度为N且主见不重复的数组，平均情况下插入排序需要~N^2/4次比较以及~N^2/4。最坏情况下需要~N^2/2次比较和~N^2/2次交换。

• 第一个问题：想请教一下这个效率是怎么计算的？

希尔排序是基于插入排序所改进的算法。书上是这样描述的：中心思想是使数组中任意间隔为h的元素都是有序的。这样的数组被称为h有序数组。也就是说，一个h有序数组就是h个互相独立的有序数组编织在一起组成一个数组。
这样说我是能够理解的，但是它的代码有点令我难以理解。

//一些简单的通用性代码就不粘贴了，减少篇幅，以免各位看官看的烦
    public static void sort(Comparable[] a) {
        int n = a.length;

        // 3x+1 increment sequence:  1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, ... 
        int h = 1;
        while (h < n/3) h = 3*h + 1; 

        while (h >= 1) {
            for (int i = h; i < n; i++) {、
                //less是用来比较大小的，a[j]<[j-h]
                for (int j = i; j >= h && less(a[j], a[j-h]); j -= h) {
                    //交换a[j]和a[j-h]的位置
                    exch(a, j, j-h);
                }
            }
            assert isHsorted(a, h); //判断是否有序的代码
            h /= 3;
        }
        assert isSorted(a);
    }

• 第二个问题是：h这个递增序列是什么意思？它有什么作用？为什么是h=3*h+1？

• 第三个问题是：书上说最坏的情况是N^(3/2)。N是数组大小。这个效率是如何计算出来的？

Answer 1

问题一:
前提知识:
等差数列前n项和

插入排序是从第2元素开始插入排序,插入过程,可知最坏情况就是逆排序,一共要执行1+2+3+...+n-1次,根据前n项和结果为(n-1)n/2约等于n^2/2,类似问题可见此处.

问题二:
前提知识:

1. 插入排序的算法复杂度的计算(即上)

2. 希尔排序(shell sort)的理解
   此处h的定义增量为3,没有任何强制要求,h的增量也可以是2

示例:

注意:增量为2时,是对[72,874,283,911,820]跟[401,141,592,887,348]两组数组全进行插入排序.

问题三:
前提知识:数论
详见<数据结构与算法分析_JAVA语言描述>定理7.4:

菜鸟总结,大手轻拍.