浮点数精度问题及使用场合

Question

最近一段时间，对于单精度浮点数float和双精度浮点数double的使用场合突然有了疑问。我们都知道在计算机内部浮点数是采用二进制标示的，可以参见下图：

• sign：符号位
• exponent：指数为
• fraction：有效数字

基于这样一个事实：大部分小数是无法精确表示的，导致精度是偶然的，误差是必然的。比如0.1这个数，根据十进制小数转换为二进制小数的规则。

0.1×2=0.2 整数位是0，表示为0.0
0.2×2=0.4 整数位是0，表示为0.00
0.4×2=0.8 整数位是0，表示为0.000
0.8×2=1.6 整数位是1，表示为0.0001
0.6×2=1.2 整数位是1，表示为0.00011 从此出现了类似除法的循环0011
0.2×2=0.4 整数位是0，表示为0.000110
0.4×2=0.8 整数位是0，表示为0.0001100
0.8×2=1.6 整数位是1，表示为0.00011001
0.6×2=1.2 整数位是1，表示为0.000110011

也是就用有限位无法表示此数，根据上述运算过程，也同样无法表示0.2，0.4，0.6，0.8，而0.3×2=0.6，0.7×2=1.4，0.9×2=1.8也同样陷入了循环之中，所以在0.1~0.9这九个数中只有0.5是可以完全表示的，其他的只能是近似表示。

得出上述结论后，那么，现代计算机的二进制浮点数表示还有什么意义呢，我们平常在编程过程中，是否还该使用这种方法吗？难道我们就只能避免误差累积吗？

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更新：要表示的数的误差很小，在上面图中的 23 位有效数字中，最大表示误差是 2e-23，所以在简单运算场合还是可用的。现在想知道那些场合是不可用的？

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更新：上面图中，有效数字fraction有23位，实际中比如1.1100101的第一位总是1所以不用存储，因此可以认为有效数字的有效位有24位，如果用此32位浮点数存储一个整数的话，那么这个整数的最大值在十进制的6~7位，当要表示的数字大于6~7位时，剩余的位就表示不下，造成误差较大。因此，如果使用单精度浮点型，最好数字不要太大1W以内比较好，超过这个数量级请用双精度浮点型。

Answer 1

看我《代码之谜》系列的浮点数章节吧，内容就不贴了

• 代码之谜（四）- 浮点数（从惊讶到思考）
• 代码之谜（五）- 浮点数（谁偷了你的精度？）

Answer 2

你说的都没错，不是2的幂次的多项式和的数都无法精确表示。
可怎么会没有意义？要不然你想让计算机怎么表示小数？
通常4字节的float或者8字节的double已经在日常生活中够用
更高精度的浮点运算不同的语言一般会有相应的库，但是相应的运算速度会慢很多

Answer 3

要表示的数的误差很小，在上面图中的23位有效数字中，最大表示误差是2e-23，所以在简单运算场合还是可用的。现在想知道那些场合是不可用的？