如何估算 2^2^2^2^2^2 的大小？

Question

想知道这种指数的大小如何估算，比如有多少个二进制或者十进制位。

Answer 1

有人定义过b个a写成(a^a^...^a)的这个运算叫“Tetration”。

详情看Matrix67的这篇文章： http://www.matrix67.com/blog/archives/3857

以我的估计，很难有一个有效的方法有效的表示Tetration的对数运算。因为Tetration本来就是形成相当大数量的运算，增长实在是太快了，甚至指数运算也兜不住它。表示一个Tetration运算出来的数，甚至没有明显比Tetration更可行的其他形式。

另有这个Wiki页面，似乎提供了一些估计的方法，还没详细看。http://en.citizendium.org/wiki/tetration

Answer 2

虽然我也不懂，不过 WolframAlpha 知道：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E2%5E2%5E2%5E2%5E2

二进制位：2^65536 个
十进制位：的确是可以用 log 的方法：有 2^65536 * log10(2) 个。

Answer 3

我在运算顺序上坑了。呜咦……

如果是只算位数的话，直接用log来估一下嘛。
比如log10(2)大概是0.3多一点点， 2^2^2^2^2^2 的位数大概就是 0.3*2*2*2*2*2 = 9.6，向上补整是10位数。
如果要估算首位数字，那log10(2)的精度要高一点，考虑到第二位影响，估算至少需要小数点后3位，按0.301来估。这样0.301*2*2*2*2*2 = 9.63，首位数字是 10^0.63。因为log10(2) 大约 0.301，估计 10^0.63会比4大一点点，可以估算首位为4。

二进制应该可以一样来弄
ln2 = 1，1*2*2*2*2*2 = 16，17位数……
（好像有啥不对？嘛，二进制我搞不清楚……）