Question

294. 翻转游戏 II

English Version

题目描述

你和朋友玩一个叫做「翻转游戏」的游戏。游戏规则如下：

给你一个字符串 currentState ，其中只含 '+' 和 '-' 。你和朋友轮流将 连续 的两个 "++" 反转成 "--" 。当一方无法进行有效的翻转时便意味着游戏结束，则另一方获胜。默认每个人都会采取最优策略。

请你写出一个函数来判定起始玩家 是否存在必胜的方案 ：如果存在，返回 true ；否则，返回 false 。

 

示例 1：

输入：currentState = "++++"
输出：true
解释：起始玩家可将中间的 "++" 翻转变为 "+--+" 从而得胜。

示例 2：

输入：currentState = "+"
输出：false

 

提示：

• 1 <= currentState.length <= 60
• currentState[i] 不是 '+' 就是 '-'

 

进阶：请推导你算法的时间复杂度。

解法

方法一：状态压缩 + 记忆化搜索

class Solution:
  def canWin(self, currentState: str) -> bool:
    @cache
    def dfs(mask):
      for i in range(n - 1):
        if (mask & (1 << i)) == 0 or (mask & (1 << (i + 1)) == 0):
          continue
        if dfs(mask ^ (1 << i) ^ (1 << (i + 1))):
          continue
        return True
      return False

    mask, n = 0, len(currentState)
    for i, c in enumerate(currentState):
      if c == '+':
        mask |= 1 << i
    return dfs(mask)

class Solution {
  private int n;
  private Map<Long, Boolean> memo = new HashMap<>();

  public boolean canWin(String currentState) {
    long mask = 0;
    n = currentState.length();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      if (currentState.charAt(i) == '+') {
        mask |= 1 << i;
      }
    }
    return dfs(mask);
  }

  private boolean dfs(long mask) {
    if (memo.containsKey(mask)) {
      return memo.get(mask);
    }
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
      if ((mask & (1 << i)) == 0 || (mask & (1 << (i + 1))) == 0) {
        continue;
      }
      if (dfs(mask ^ (1 << i) ^ (1 << (i + 1)))) {
        continue;
      }
      memo.put(mask, true);
      return true;
    }
    memo.put(mask, false);
    return false;
  }
}

using ll = long long;

class Solution {
public:
  int n;
  unordered_map<ll, bool> memo;

  bool canWin(string currentState) {
    n = currentState.size();
    ll mask = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
      if (currentState[i] == '+') mask |= 1ll << i;
    return dfs(mask);
  }

  bool dfs(ll mask) {
    if (memo.count(mask)) return memo[mask];
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
      if ((mask & (1ll << i)) == 0 || (mask & (1ll << (i + 1))) == 0) continue;
      if (dfs(mask ^ (1ll << i) ^ (1ll << (i + 1)))) continue;
      memo[mask] = true;
      return true;
    }
    memo[mask] = false;
    return false;
  }
};

func canWin(currentState string) bool {
  n := len(currentState)
  memo := map[int]bool{}
  mask := 0
  for i, c := range currentState {
    if c == '+' {
      mask |= 1 << i
    }
  }
  var dfs func(int) bool
  dfs = func(mask int) bool {
    if v, ok := memo[mask]; ok {
      return v
    }
    for i := 0; i < n-1; i++ {
      if (mask&(1<<i)) == 0 || (mask&(1<<(i+1))) == 0 {
        continue
      }
      if dfs(mask ^ (1 << i) ^ (1 << (i + 1))) {
        continue
      }
      memo[mask] = true
      return true
    }
    memo[mask] = false
    return false
  }
  return dfs(mask)
}

方法二：Sprague-Grundy 定理

Sprague-Grundy 定理为游戏的每一个状态定义了一个 Sprague-Grundy 数（简称 SG 数），游戏状态的组合相当于 SG 数的异或运算。

Sprague-Grundy 定理的完整表述如下：

若一个游戏满足以下条件：

1. 双人、回合制
2. 信息完全公开
3. 无随机因素
4. 必然在有限步内结束，且每步的走法数有限
5. 没有平局
6. 双方可采取的行动及胜利目标都相同
7. 这个胜利目标是自己亲手达成终局状态，或者说走最后一步者为胜（normal play）

则游戏中的每个状态可以按如下规则赋予一个非负整数，称为 Sprague-Grundy 数，即 $SG(A)=mex{SG(B)|A->B}$。（式中 $A$, $B$ 代表状态，代表 $A$ 状态经一步行动可以到达 $B$ 状态，而 $mex$ 表示一个集合所不包含的最小非负整数）

SG 数有如下性质：

1. SG 数为 0 的状态，后手必胜；SG 数为正的状态，先手必胜；
2. 若一个母状态可以拆分成多个相互独立的子状态，则母状态的 SG 数等于各个子状态的 SG 数的异或。

参考资料：Sprague-Grundy 定理是怎么想出来的

时间复杂度 $O(n^2)$。

class Solution:
  def canWin(self, currentState: str) -> bool:
    def win(i):
      if sg[i] != -1:
        return sg[i]
      vis = [False] * n
      for j in range(i - 1):
        vis[win(j) ^ win(i - j - 2)] = True
      for j in range(n):
        if not vis[j]:
          sg[i] = j
          return j
      return 0

    n = len(currentState)
    sg = [-1] * (n + 1)
    sg[0] = sg[1] = 0
    ans = i = 0
    while i < n:
      j = i
      while j < n and currentState[j] == '+':
        j += 1
      ans ^= win(j - i)
      i = j + 1
    return ans > 0

class Solution {
  private int n;
  private int[] sg;

  public boolean canWin(String currentState) {
    n = currentState.length();
    sg = new int[n + 1];
    Arrays.fill(sg, -1);
    int i = 0;
    int ans = 0;
    while (i < n) {
      int j = i;
      while (j < n && currentState.charAt(j) == '+') {
        ++j;
      }
      ans ^= win(j - i);
      i = j + 1;
    }
    return ans > 0;
  }

  private int win(int i) {
    if (sg[i] != -1) {
      return sg[i];
    }
    boolean[] vis = new boolean[n];
    for (int j = 0; j < i - 1; ++j) {
      vis[win(j) ^ win(i - j - 2)] = true;
    }
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      if (!vis[j]) {
        sg[i] = j;
        return j;
      }
    }
    return 0;
  }
}

class Solution {
public:
  bool canWin(string currentState) {
    int n = currentState.size();
    vector<int> sg(n + 1, -1);
    sg[0] = 0, sg[1] = 0;

    function<int(int)> win = [&](int i) {
      if (sg[i] != -1) return sg[i];
      vector<bool> vis(n);
      for (int j = 0; j < i - 1; ++j) vis[win(j) ^ win(i - j - 2)] = true;
      for (int j = 0; j < n; ++j)
        if (!vis[j]) return sg[i] = j;
      return 0;
    };

    int ans = 0, i = 0;
    while (i < n) {
      int j = i;
      while (j < n && currentState[j] == '+') ++j;
      ans ^= win(j - i);
      i = j + 1;
    }
    return ans > 0;
  }
};

func canWin(currentState string) bool {
  n := len(currentState)
  sg := make([]int, n+1)
  for i := range sg {
    sg[i] = -1
  }
  var win func(i int) int
  win = func(i int) int {
    if sg[i] != -1 {
      return sg[i]
    }
    vis := make([]bool, n)
    for j := 0; j < i-1; j++ {
      vis[win(j)^win(i-j-2)] = true
    }
    for j := 0; j < n; j++ {
      if !vis[j] {
        sg[i] = j
        return j
      }
    }
    return 0
  }
  ans, i := 0, 0
  for i < n {
    j := i
    for j < n && currentState[j] == '+' {
      j++
    }
    ans ^= win(j - i)
    i = j + 1
  }
  return ans > 0
}