Question

279. 完全平方数

English Version

题目描述

给你一个整数 n ，返回 _和为 n 的完全平方数的最少数量_ 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

 

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

 

提示：

• 1 <= n <= 104

解法

方法一：动态规划(完全背包)

我们定义 $f[i][j]$ 表示使用数字 $1, 2, \cdots, i$ 的完全平方数组成和为 $j$ 的最少数量。初始时 $f[0][0] = 0$，其余位置的值均为正无穷。

我们可以枚举使用的最后一个数字的数量 $k$，那么：

$$ f[i][j] = \min(f[i - 1][j], f[i - 1][j - i^2] + 1, \cdots, f[i - 1][j - k \times i^2] + k) $$

其中 $i^2$ 表示最后一个数字 $i$ 的完全平方数。

不妨令 $j = j - i^2$，那么有：

$$ f[i][j - i^2] = \min(f[i - 1][j - i^2], f[i - 1][j - 2 \times i^2] + 1, \cdots, f[i - 1][j - k \times i^2] + k - 1) $$

将二式代入一式，我们可以得到以下状态转移方程：

$$ f[i][j] = \min(f[i - 1][j], f[i][j - i^2] + 1) $$

最后答案即为 $f[m][n]$。

时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 为 $sqrt(n)$ 的整数部分。

注意到 $f[i][j]$ 只与 $f[i - 1][j]$ 和 $f[i][j - i^2]$ 有关，因此我们可以将二维数组优化为一维数组，空间复杂度降为 $O(n)$。

相似题目：

• 322. 零钱兑换

class Solution:
  def numSquares(self, n: int) -> int:
    m = int(sqrt(n))
    f = [[inf] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    f[0][0] = 0
    for i in range(1, m + 1):
      for j in range(n + 1):
        f[i][j] = f[i - 1][j]
        if j >= i * i:
          f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - i * i] + 1)
    return f[m][n]

class Solution {
  public int numSquares(int n) {
    int m = (int) Math.sqrt(n);
    int[][] f = new int[m + 1][n + 1];
    for (var g : f) {
      Arrays.fill(g, 1 << 30);
    }
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      for (int j = 0; j <= n; ++j) {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (j >= i * i) {
          f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][j - i * i] + 1);
        }
      }
    }
    return f[m][n];
  }
}

class Solution {
public:
  int numSquares(int n) {
    int m = sqrt(n);
    int f[m + 1][n + 1];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      for (int j = 0; j <= n; ++j) {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (j >= i * i) {
          f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - i * i] + 1);
        }
      }
    }
    return f[m][n];
  }
};

func numSquares(n int) int {
  m := int(math.Sqrt(float64(n)))
  f := make([][]int, m+1)
  const inf = 1 << 30
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n+1)
    for j := range f[i] {
      f[i][j] = inf
    }
  }
  f[0][0] = 0
  for i := 1; i <= m; i++ {
    for j := 0; j <= n; j++ {
      f[i][j] = f[i-1][j]
      if j >= i*i {
        f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j-i*i]+1)
      }
    }
  }
  return f[m][n]
}

function numSquares(n: number): number {
  const m = Math.floor(Math.sqrt(n));
  const f: number[][] = Array(m + 1)
    .fill(0)
    .map(() => Array(n + 1).fill(1 << 30));
  f[0][0] = 0;
  for (let i = 1; i <= m; ++i) {
    for (let j = 0; j <= n; ++j) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      if (j >= i * i) {
        f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][j - i * i] + 1);
      }
    }
  }
  return f[m][n];
}

impl Solution {
  pub fn num_squares(n: i32) -> i32 {
    let (row, col) = ((n as f32).sqrt().floor() as usize, n as usize);
    let mut dp = vec![vec![i32::MAX; col + 1]; row + 1];
    dp[0][0] = 0;
    for i in 1..=row {
      for j in 0..=col {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        if j >= i * i {
          dp[i][j] = std::cmp::min(dp[i][j], dp[i][j - i * i] + 1);
        }
      }
    }
    dp[row][col]
  }
}

方法二

class Solution:
  def numSquares(self, n: int) -> int:
    m = int(sqrt(n))
    f = [0] + [inf] * n
    for i in range(1, m + 1):
      for j in range(i * i, n + 1):
        f[j] = min(f[j], f[j - i * i] + 1)
    return f[n]

class Solution {
  public int numSquares(int n) {
    int m = (int) Math.sqrt(n);
    int[] f = new int[n + 1];
    Arrays.fill(f, 1 << 30);
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      for (int j = i * i; j <= n; ++j) {
        f[j] = Math.min(f[j], f[j - i * i] + 1);
      }
    }
    return f[n];
  }
}

class Solution {
public:
  int numSquares(int n) {
    int m = sqrt(n);
    int f[n + 1];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
      for (int j = i * i; j <= n; ++j) {
        f[j] = min(f[j], f[j - i * i] + 1);
      }
    }
    return f[n];
  }
};

func numSquares(n int) int {
  m := int(math.Sqrt(float64(n)))
  f := make([]int, n+1)
  for i := range f {
    f[i] = 1 << 30
  }
  f[0] = 0
  for i := 1; i <= m; i++ {
    for j := i * i; j <= n; j++ {
      f[j] = min(f[j], f[j-i*i]+1)
    }
  }
  return f[n]
}

function numSquares(n: number): number {
  const m = Math.floor(Math.sqrt(n));
  const f: number[] = Array(n + 1).fill(1 << 30);
  f[0] = 0;
  for (let i = 1; i <= m; ++i) {
    for (let j = i * i; j <= n; ++j) {
      f[j] = Math.min(f[j], f[j - i * i] + 1);
    }
  }
  return f[n];
}

impl Solution {
  pub fn num_squares(n: i32) -> i32 {
    let (row, col) = ((n as f32).sqrt().floor() as usize, n as usize);
    let mut dp = vec![i32::MAX; col + 1];
    dp[0] = 0;
    for i in 1..=row {
      for j in i * i..=col {
        dp[j] = std::cmp::min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
      }
    }
    dp[col]
  }
}