Question

2861. 最大合金数

English Version

题目描述

假设你是一家合金制造公司的老板，你的公司使用多种金属来制造合金。现在共有 n 种不同类型的金属可以使用，并且你可以使用 k 台机器来制造合金。每台机器都需要特定数量的每种金属来创建合金。

对于第 i 台机器而言，创建合金需要 composition[i][j] 份 j 类型金属。最初，你拥有 stock[i] 份 i 类型金属，而每购入一份 i 类型金属需要花费 cost[i] 的金钱。

给你整数 n、k、budget，下标从 1 开始的二维数组 composition，两个下标从 1 开始的数组 stock 和 cost，请你在预算不超过 budget 金钱的前提下，最大化 公司制造合金的数量。

所有合金都需要由同一台机器制造。

返回公司可以制造的最大合金数。

 

示例 1：

输入：n = 3, k = 2, budget = 15, composition = [[1,1,1],[1,1,10]], stock = [0,0,0], cost = [1,2,3]
输出：2
解释：最优的方法是使用第 1 台机器来制造合金。
要想制造 2 份合金，我们需要购买：
- 2 份第 1 类金属。
- 2 份第 2 类金属。
- 2 份第 3 类金属。
总共需要 2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3 = 12 的金钱，小于等于预算 15 。
注意，我们最开始时候没有任何一类金属，所以必须买齐所有需要的金属。
可以证明在示例条件下最多可以制造 2 份合金。

示例 2：

输入：n = 3, k = 2, budget = 15, composition = [[1,1,1],[1,1,10]], stock = [0,0,100], cost = [1,2,3]
输出：5
解释：最优的方法是使用第 2 台机器来制造合金。 
要想制造 5 份合金，我们需要购买： 
- 5 份第 1 类金属。
- 5 份第 2 类金属。 
- 0 份第 3 类金属。 
总共需要 5 * 1 + 5 * 2 + 0 * 3 = 15 的金钱，小于等于预算 15 。 
可以证明在示例条件下最多可以制造 5 份合金。

示例 3：

输入：n = 2, k = 3, budget = 10, composition = [[2,1],[1,2],[1,1]], stock = [1,1], cost = [5,5]
输出：2
解释：最优的方法是使用第 3 台机器来制造合金。
要想制造 2 份合金，我们需要购买：
- 1 份第 1 类金属。
- 1 份第 2 类金属。
总共需要 1 * 5 + 1 * 5 = 10 的金钱，小于等于预算 10 。
可以证明在示例条件下最多可以制造 2 份合金。

 

提示：

• 1 <= n, k <= 100
• 0 <= budget <= 108
• composition.length == k
• composition[i].length == n
• 1 <= composition[i][j] <= 100
• stock.length == cost.length == n
• 0 <= stock[i] <= 108
• 1 <= cost[i] <= 100

解法

方法一：二分查找

我们注意到，所有合金都需要由同一台机器制造，因此我们可以枚举使用哪一台机器来制造合金。

对于每一台机器，我们可以使用二分查找的方法找出最大的整数 $x$，使得我们可以使用这台机器制造 $x$ 份合金。找出所有 $x$ 中的最大值即为答案。

时间复杂度 $O(n \times k \times \log M)$，其中 $M$ 是二分查找的上界，本题中 $M \leq 2 \times 10^8$。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def maxNumberOfAlloys(
    self,
    n: int,
    k: int,
    budget: int,
    composition: List[List[int]],
    stock: List[int],
    cost: List[int],
  ) -> int:
    ans = 0
    for c in composition:
      l, r = 0, budget + stock[0]
      while l < r:
        mid = (l + r + 1) >> 1
        s = sum(max(0, mid * x - y) * z for x, y, z in zip(c, stock, cost))
        if s <= budget:
          l = mid
        else:
          r = mid - 1
      ans = max(ans, l)
    return ans

class Solution {
  int n;
  int budget;
  List<List<Integer>> composition;
  List<Integer> stock;
  List<Integer> cost;

  boolean isValid(long target) {
    for (List<Integer> currMachine : composition) {
      long remain = budget;
      for (int j = 0; j < n && remain >= 0; j++) {
        long need = Math.max(0, currMachine.get(j) * target - stock.get(j));
        remain -= need * cost.get(j);
      }
      if (remain >= 0) {
        return true;
      }
    }
    return false;
  }

  public int maxNumberOfAlloys(int n, int k, int budget, List<List<Integer>> composition,
    List<Integer> stock, List<Integer> cost) {
    this.n = n;
    this.budget = budget;
    this.composition = composition;
    this.stock = stock;
    this.cost = cost;
    int l = -1;
    int r = budget / cost.get(0) + stock.get(0);
    while (l < r) {
      int mid = (l + r + 1) >> 1;
      if (isValid(mid)) {
        l = mid;
      } else {
        r = mid - 1;
      }
    }
    return l;
  }
}

class Solution {
public:
  int maxNumberOfAlloys(int n, int k, int budget, vector<vector<int>>& composition, vector<int>& stock, vector<int>& cost) {
    auto isValid = [&](long long target) {
      for (int i = 0; i < k; i++) {
        long long remain = budget;
        auto currMachine = composition[i];
        for (int j = 0; j < n && remain >= 0; j++) {
          long long need = max(0LL, target * currMachine[j] - stock[j]);
          remain -= need * cost[j];
        }
        if (remain >= 0) {
          return true;
        }
      }
      return false;
    };
    long long l = 0, r = budget + stock[0];
    while (l < r) {
      long long mid = (l + r + 1) >> 1;
      if (isValid(mid)) {
        l = mid;
      } else {
        r = mid - 1;
      }
    }
    return l;
  }
};

func maxNumberOfAlloys(n int, k int, budget int, composition [][]int, stock []int, cost []int) int {
  isValid := func(target int) bool {
    for _, currMachine := range composition {
      remain := budget
      for i, x := range currMachine {
        need := max(0, x*target-stock[i])
        remain -= need * cost[i]
      }
      if remain >= 0 {
        return true
      }
    }
    return false
  }

  l, r := 0, budget+stock[0]
  for l < r {
    mid := (l + r + 1) >> 1
    if isValid(mid) {
      l = mid
    } else {
      r = mid - 1
    }
  }
  return l
}

function maxNumberOfAlloys(
  n: number,
  k: number,
  budget: number,
  composition: number[][],
  stock: number[],
  cost: number[],
): number {
  let l = 0;
  let r = budget + stock[0];
  const isValid = (target: number): boolean => {
    for (const currMachine of composition) {
      let remain = budget;
      for (let i = 0; i < n; ++i) {
        let need = Math.max(0, target * currMachine[i] - stock[i]);
        remain -= need * cost[i];
      }
      if (remain >= 0) {
        return true;
      }
    }
    return false;
  };
  while (l < r) {
    const mid = (l + r + 1) >> 1;
    if (isValid(mid)) {
      l = mid;
    } else {
      r = mid - 1;
    }
  }
  return l;
}