Question

829. 连续整数求和

English Version

题目描述

给定一个正整数 n，返回 _连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数_ 。 

 

示例 1:

输入: n = 5
输出: 2
解释: 5 = 2 + 3，共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。

示例 2:

输入: n = 9
输出: 3
解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

示例 3:

输入: n = 15
输出: 4
解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

 

提示:

• 1 <= n <= 109​​​​​​​

解法

方法一：数学推导

连续正整数构成一个等差数列($d=1$)。我们假设等差数列的第一项为 $a$，项数为 $k$，则 $n=(a+a+k-1)_k/2$，即 $n_2=(a_2+k-1)_k$ ①。

由于是连续正整数， $a>=1$，所以 ① 可以化为 $n_2>=(k+1)_k$，即 $k_(k+1)<=n_2$ ②。

因此，$k$ 的范围需要满足 $k>=1$ 并且 $k_(k+1)<=n_2$。另外，我们从 ① 式可以发现，$k$ 必须能整除 $n*2$。

综上，我们枚举 $k$，累加满足条件的 $k$ 的个数即可。

时间复杂度 $O(\sqrt{n})$。

class Solution:
  def consecutiveNumbersSum(self, n: int) -> int:
    n <<= 1
    ans, k = 0, 1
    while k * (k + 1) <= n:
      if n % k == 0 and (n // k + 1 - k) % 2 == 0:
        ans += 1
      k += 1
    return ans

class Solution {

  public int consecutiveNumbersSum(int n) {
    n <<= 1;
    int ans = 0;
    for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
      if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
        ++ans;
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int consecutiveNumbersSum(int n) {
    n <<= 1;
    int ans = 0;
    for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
      if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
        ++ans;
      }
    }
    return ans;
  }
};

func consecutiveNumbersSum(n int) int {
  n <<= 1
  ans := 0
  for k := 1; k*(k+1) <= n; k++ {
    if n%k == 0 && (n/k+1-k)%2 == 0 {
      ans++
    }
  }
  return ans
}