Question

2203. 得到要求路径的最小带权子图

English Version

题目描述

给你一个整数 n ，它表示一个 带权有向 图的节点数，节点编号为 0 到 n - 1 。

同时给你一个二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [fromi, toi, weighti] ，表示从 fromi 到 toi 有一条边权为 weighti 的 有向 边。

最后，给你三个 互不相同 的整数 src1 ，src2 和 dest ，表示图中三个不同的点。

请你从图中选出一个 边权和最小 的子图，使得从 src1 和 src2 出发，在这个子图中，都 可以 到达 dest 。如果这样的子图不存在，请返回 -1 。

子图 中的点和边都应该属于原图的一部分。子图的边权和定义为它所包含的所有边的权值之和。

 

示例 1：

输入：n = 6, edges = [[0,2,2],[0,5,6],[1,0,3],[1,4,5],[2,1,1],[2,3,3],[2,3,4],[3,4,2],[4,5,1]], src1 = 0, src2 = 1, dest = 5
输出：9
解释：
上图为输入的图。
蓝色边为最优子图之一。
注意，子图 [[1,0,3],[0,5,6]] 也能得到最优解，但无法在满足所有限制的前提下，得到更优解。

示例 2：

输入：n = 3, edges = [[0,1,1],[2,1,1]], src1 = 0, src2 = 1, dest = 2
输出：-1
解释：
上图为输入的图。
可以看到，不存在从节点 1 到节点 2 的路径，所以不存在任何子图满足所有限制。

 

提示：

• 3 <= n <= 105
• 0 <= edges.length <= 105
• edges[i].length == 3
• 0 <= fromi, toi, src1, src2, dest <= n - 1
• fromi != toi
• src1 ，src2 和 dest 两两不同。
• 1 <= weight[i] <= 105

解法

方法一：枚举三条最短路的交汇点

最短路问题。

我们假设从 $src1$ 出发到 $dest$ 的一条最短路径为 $A$，从 $src2$ 出发到 $dest$ 的一条最短路径为 $B$。

$A$, $B$ 两条路径一定存在着公共点 $p$，因为 $dest$ 一定是其中一个公共点。那么问题可以转换为求以下三条路径和的最小值：

1. 从 $src1$ 到 $p$ 的最短路
2. 从 $src2$ 到 $p$ 的最短路
3. 从 $p$ 到 $dest$ 的最短路（这里我们可以将原图的所有边反向，然后转换为从 $dest$ 到 $p$ 的最短路）

我们进行三次 Dijkstra 算法，就可以求出 $src1$, $src2$, $dest$ 到其他点的最短路径。

公共点可以有多个，因此我们在 $[0,n)$ 范围内枚举公共点 $p$，找出边权之和最小的值即可。

时间复杂度 $O(mlogn)$，其中 m 表示数组 $edges$ 的长度。

class Solution:
  def minimumWeight(
    self, n: int, edges: List[List[int]], src1: int, src2: int, dest: int
  ) -> int:
    def dijkstra(g, u):
      dist = [inf] * n
      dist[u] = 0
      q = [(0, u)]
      while q:
        d, u = heappop(q)
        if d > dist[u]:
          continue
        for v, w in g[u]:
          if dist[v] > dist[u] + w:
            dist[v] = dist[u] + w
            heappush(q, (dist[v], v))
      return dist

    g = defaultdict(list)
    rg = defaultdict(list)
    for f, t, w in edges:
      g[f].append((t, w))
      rg[t].append((f, w))
    d1 = dijkstra(g, src1)
    d2 = dijkstra(g, src2)
    d3 = dijkstra(rg, dest)
    ans = min(sum(v) for v in zip(d1, d2, d3))
    return -1 if ans >= inf else ans

class Solution {
  private static final Long INF = Long.MAX_VALUE;

  public long minimumWeight(int n, int[][] edges, int src1, int src2, int dest) {
    List<Pair<Integer, Long>>[] g = new List[n];
    List<Pair<Integer, Long>>[] rg = new List[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      g[i] = new ArrayList<>();
      rg[i] = new ArrayList<>();
    }
    for (int[] e : edges) {
      int f = e[0], t = e[1];
      long w = e[2];
      g[f].add(new Pair<>(t, w));
      rg[t].add(new Pair<>(f, w));
    }
    long[] d1 = dijkstra(g, src1);
    long[] d2 = dijkstra(g, src2);
    long[] d3 = dijkstra(rg, dest);
    long ans = -1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      if (d1[i] == INF || d2[i] == INF || d3[i] == INF) {
        continue;
      }
      long t = d1[i] + d2[i] + d3[i];
      if (ans == -1 || ans > t) {
        ans = t;
      }
    }
    return ans;
  }

  private long[] dijkstra(List<Pair<Integer, Long>>[] g, int u) {
    int n = g.length;
    long[] dist = new long[n];
    Arrays.fill(dist, INF);
    dist[u] = 0;
    PriorityQueue<Pair<Long, Integer>> q
      = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingLong(Pair::getKey));
    q.offer(new Pair<>(0L, u));
    while (!q.isEmpty()) {
      Pair<Long, Integer> p = q.poll();
      long d = p.getKey();
      u = p.getValue();
      if (d > dist[u]) {
        continue;
      }
      for (Pair<Integer, Long> e : g[u]) {
        int v = e.getKey();
        long w = e.getValue();
        if (dist[v] > dist[u] + w) {
          dist[v] = dist[u] + w;
          q.offer(new Pair<>(dist[v], v));
        }
      }
    }
    return dist;
  }
}