Question

2019. 解出数学表达式的学生分数

English Version

题目描述

给你一个字符串 s ，它 只 包含数字 0-9 ，加法运算符 '+' 和乘法运算符 '*' ，这个字符串表示一个 合法 的只含有 个位数数字 的数学表达式（比方说 3+5*2）。有 n 位小学生将计算这个数学表达式，并遵循如下 运算顺序 ：

1. 按照 从左到右 的顺序计算 乘法 ，然后
2. 按照 从左到右 的顺序计算 加法 。

给你一个长度为 n 的整数数组 answers ，表示每位学生提交的答案。你的任务是给 answer 数组按照如下 规则 打分：

• 如果一位学生的答案 等于 表达式的正确结果，这位学生将得到 5 分。
• 否则，如果答案由 一处或多处错误的运算顺序 计算得到，那么这位学生能得到 2 分。
• 否则，这位学生将得到 0 分。

请你返回所有学生的分数和。

 

示例 1：

输入：s = "7+3*1*2", answers = [20,13,42]
输出：7
解释：如上图所示，正确答案为 13 ，因此有一位学生得分为 5 分：[20,_13_,42] 。
一位学生可能通过错误的运算顺序得到结果 20 ：7+3=10，10*1=10，10*2=20 。所以这位学生得分为 2 分：[_20_,13,42] 。
所有学生得分分别为：[2,5,0] 。所有得分之和为 2+5+0=7 。

示例 2：

输入：s = "3+5*2", answers = [13,0,10,13,13,16,16]
输出：19
解释：表达式的正确结果为 13 ，所以有 3 位学生得到 5 分：[_13_,0,10,_13_,_13_,16,16] 。
学生可能通过错误的运算顺序得到结果 16 ：3+5=8，8*2=16 。所以两位学生得到 2 分：[13,0,10,13,13,_16_,_16_] 。
所有学生得分分别为：[5,0,0,5,5,2,2] 。所有得分之和为 5+0+0+5+5+2+2=19 。

示例 3：

输入：s = "6+0*1", answers = [12,9,6,4,8,6]
输出：10
解释：表达式的正确结果为 6 。
如果一位学生通过错误的运算顺序计算该表达式，结果仍为 6 。
根据打分规则，运算顺序错误的学生也将得到 5 分（因为他们仍然得到了正确的结果），而不是 2 分。
所有学生得分分别为：[0,0,5,0,0,5] 。所有得分之和为 10 分。

 

提示：

• 3 <= s.length <= 31
• s 表示一个只包含 0-9 ，'+' 和 '*' 的合法表达式。
• 表达式中所有整数运算数字都在闭区间 [0, 9] 以内。
• 1 <= 数学表达式中所有运算符数目（'+' 和 '*'） <= 15
• 测试数据保证正确表达式结果在范围 [0, 1000] 以内。
• n == answers.length
• 1 <= n <= 104
• 0 <= answers[i] <= 1000

解法

方法一：动态规划（区间 DP）

我们先设计一个函数 $cal(s)$，用于计算一个合法的只含有个位数数字的数学表达式的结果。那么正确答案就是 $x = cal(s)$。

我们记字符串 $s$ 的长度为 $n$，那么 $s$ 中的数字个数为 $m = \frac{n+1}{2}$。

我们定义 $f[i][j]$ 表示选择 $s$ 中的第 $i$ 个数字到第 $j$ 个数字（下标从 $0$ 开始）这一段数字，计算出的结果可能的取值。初始时 $f[i][i]$ 表示选择第 $i$ 个数字，结果只能是这个数字本身，即 $f[i][i] = {s[i \times 2]}$（即第 $i$ 个数字映射到字符串 $s$ 中的下标为 $i \times 2$ 的字符）。

接下来，我们从大到小枚举 $i$，然后从小到大枚举 $j$，我们需要求出区间 $[i, j]$ 所有数字运算的结果可能的取值。我们在区间 $[i, j]$ 中枚举分界点 $k$，那么 $f[i][j]$ 可以由 $f[i][k]$ 和 $f[k+1][j]$ 通过运算符 $s[k \times 2 + 1]$ 得到。因此我们可以得到如下状态转移方程：

$$ f[i][j] = \begin{cases} {s[i \times 2]}, & i = j \ \bigcup\limits_{k=i}^{j-1} {f[i][k] \otimes f[k+1][j]}, & i < j \end{cases} $$

其中 $\otimes$ 表示运算符，即 $s[k \times 2 + 1]$。

那么字符串 $s$ 所有数字运算的结果可能的取值就是 $f[0][m-1]$。

最后，我们统计答案。我们用一个数组 $cnt$ 统计答案数组 $answers$ 中每个答案出现的次数。如果答案等于 $x$，那么这个学生得到 $5$ 分，否则如果答案在 $f[0][m-1]$ 中，那么这个学生得到 $2$ 分。遍历 $cnt$，统计答案即可。

时间复杂度 $O(n^3 \times M^2)$，空间复杂度 $O(n^2 \times M^2)$。其中 $M$ 是答案可能的最大值，而 $n$ 是字符串 $s$ 的长度中数字的个数。

class Solution:
  def scoreOfStudents(self, s: str, answers: List[int]) -> int:
    def cal(s: str) -> int:
      res, pre = 0, int(s[0])
      for i in range(1, n, 2):
        if s[i] == "*":
          pre *= int(s[i + 1])
        else:
          res += pre
          pre = int(s[i + 1])
      res += pre
      return res

    n = len(s)
    x = cal(s)
    m = (n + 1) >> 1
    f = [[set() for _ in range(m)] for _ in range(m)]
    for i in range(m):
      f[i][i] = {int(s[i << 1])}
    for i in range(m - 1, -1, -1):
      for j in range(i, m):
        for k in range(i, j):
          for l in f[i][k]:
            for r in f[k + 1][j]:
              if s[k << 1 | 1] == "+" and l + r <= 1000:
                f[i][j].add(l + r)
              elif s[k << 1 | 1] == "*" and l * r <= 1000:
                f[i][j].add(l * r)
    cnt = Counter(answers)
    ans = cnt[x] * 5
    for k, v in cnt.items():
      if k != x and k in f[0][m - 1]:
        ans += v << 1
    return ans

class Solution {
  public int scoreOfStudents(String s, int[] answers) {
    int n = s.length();
    int x = cal(s);
    int m = (n + 1) >> 1;
    Set<Integer>[][] f = new Set[m][m];
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < m; ++j) {
        f[i][j] = new HashSet<>();
      }
      f[i][i].add(s.charAt(i << 1) - '0');
    }
    for (int i = m - 1; i >= 0; --i) {
      for (int j = i; j < m; ++j) {
        for (int k = i; k < j; ++k) {
          for (int l : f[i][k]) {
            for (int r : f[k + 1][j]) {
              char op = s.charAt(k << 1 | 1);
              if (op == '+' && l + r <= 1000) {
                f[i][j].add(l + r);
              } else if (op == '*' && l * r <= 1000) {
                f[i][j].add(l * r);
              }
            }
          }
        }
      }
    }
    int[] cnt = new int[1001];
    for (int ans : answers) {
      ++cnt[ans];
    }
    int ans = 5 * cnt[x];
    for (int i = 0; i <= 1000; ++i) {
      if (i != x && f[0][m - 1].contains(i)) {
        ans += 2 * cnt[i];
      }
    }
    return ans;
  }

  private int cal(String s) {
    int res = 0, pre = s.charAt(0) - '0';
    for (int i = 1; i < s.length(); i += 2) {
      char op = s.charAt(i);
      int cur = s.charAt(i + 1) - '0';
      if (op == '*') {
        pre *= cur;
      } else {
        res += pre;
        pre = cur;
      }
    }
    res += pre;
    return res;
  }
}

class Solution {
public:
  int scoreOfStudents(string s, vector<int>& answers) {
    int n = s.size();
    int x = cal(s);
    int m = (n + 1) >> 1;
    unordered_set<int> f[m][m];
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      f[i][i] = {s[i * 2] - '0'};
    }
    for (int i = m - 1; ~i; --i) {
      for (int j = i; j < m; ++j) {
        for (int k = i; k < j; ++k) {
          for (int l : f[i][k]) {
            for (int r : f[k + 1][j]) {
              char op = s[k << 1 | 1];
              if (op == '+' && l + r <= 1000) {
                f[i][j].insert(l + r);
              } else if (op == '*' && l * r <= 1000) {
                f[i][j].insert(l * r);
              }
            }
          }
        }
      }
    }
    int cnt[1001]{};
    for (int t : answers) {
      ++cnt[t];
    }
    int ans = 5 * cnt[x];
    for (int i = 0; i <= 1000; ++i) {
      if (i != x && f[0][m - 1].count(i)) {
        ans += cnt[i] << 1;
      }
    }
    return ans;
  }

  int cal(string& s) {
    int res = 0;
    int pre = s[0] - '0';
    for (int i = 1; i < s.size(); i += 2) {
      int cur = s[i + 1] - '0';
      if (s[i] == '*') {
        pre *= cur;
      } else {
        res += pre;
        pre = cur;
      }
    }
    res += pre;
    return res;
  }
};

func scoreOfStudents(s string, answers []int) int {
  n := len(s)
  x := cal(s)
  m := (n + 1) >> 1
  f := make([][]map[int]bool, m)
  for i := range f {
    f[i] = make([]map[int]bool, m)
    for j := range f[i] {
      f[i][j] = make(map[int]bool)
    }
    f[i][i][int(s[i<<1]-'0')] = true
  }
  for i := m - 1; i >= 0; i-- {
    for j := i; j < m; j++ {
      for k := i; k < j; k++ {
        for l := range f[i][k] {
          for r := range f[k+1][j] {
            op := s[k<<1|1]
            if op == '+' && l+r <= 1000 {
              f[i][j][l+r] = true
            } else if op == '*' && l*r <= 1000 {
              f[i][j][l*r] = true
            }
          }
        }
      }
    }
  }
  cnt := [1001]int{}
  for _, v := range answers {
    cnt[v]++
  }
  ans := cnt[x] * 5
  for k, v := range cnt {
    if k != x && f[0][m-1][k] {
      ans += v << 1
    }
  }
  return ans
}

func cal(s string) int {
  res, pre := 0, int(s[0]-'0')
  for i := 1; i < len(s); i += 2 {
    cur := int(s[i+1] - '0')
    if s[i] == '+' {
      res += pre
      pre = cur
    } else {
      pre *= cur
    }
  }
  res += pre
  return res
}

function scoreOfStudents(s: string, answers: number[]): number {
  const n = s.length;
  const cal = (s: string): number => {
    let res = 0;
    let pre = s.charCodeAt(0) - '0'.charCodeAt(0);
    for (let i = 1; i < s.length; i += 2) {
      const cur = s.charCodeAt(i + 1) - '0'.charCodeAt(0);
      if (s[i] === '+') {
        res += pre;
        pre = cur;
      } else {
        pre *= cur;
      }
    }
    res += pre;
    return res;
  };
  const x = cal(s);
  const m = (n + 1) >> 1;
  const f: Set<number>[][] = Array(m)
    .fill(0)
    .map(() =>
      Array(m)
        .fill(0)
        .map(() => new Set()),
    );
  for (let i = 0; i < m; ++i) {
    f[i][i].add(s[i << 1].charCodeAt(0) - '0'.charCodeAt(0));
  }
  for (let i = m - 1; i >= 0; --i) {
    for (let j = i; j < m; ++j) {
      for (let k = i; k < j; ++k) {
        for (const l of f[i][k]) {
          for (const r of f[k + 1][j]) {
            const op = s[(k << 1) + 1];
            if (op === '+' && l + r <= 1000) {
              f[i][j].add(l + r);
            } else if (op === '*' && l * r <= 1000) {
              f[i][j].add(l * r);
            }
          }
        }
      }
    }
  }
  const cnt: number[] = Array(1001).fill(0);
  for (const v of answers) {
    ++cnt[v];
  }
  let ans = cnt[x] * 5;
  for (let i = 0; i <= 1000; ++i) {
    if (i !== x && f[0][m - 1].has(i)) {
      ans += cnt[i] << 1;
    }
  }
  return ans;
}