Question

面试题 04.12. 求和路径

English Version

题目描述

给定一棵二叉树，其中每个节点都含有一个整数数值(该值或正或负)。设计一个算法，打印节点数值总和等于某个给定值的所有路径的数量。注意，路径不一定非得从二叉树的根节点或叶节点开始或结束，但是其方向必须向下(只能从父节点指向子节点方向)。

示例:
给定如下二叉树，以及目标和 sum = 22，

        5
       / \
      4   8
       /   / \
      11  13  4
     /  \  / \
    7  2  5   1

返回:

3
解释：和为 22 的路径有：[5,4,11,2], [5,8,4,5], [4,11,7]

提示：

• 节点总数 <= 10000

解法

方法一：哈希表 + 前缀和 + 递归

我们可以运用前缀和的思想，对二叉树进行递归遍历，同时用哈希表 $cnt$ 统计从根节点到当前节点的路径上各个前缀和出现的次数。

我们设计一个递归函数 $dfs(node, s)$，表示当前遍历到的节点为 $node$，从根节点到当前节点的路径上的前缀和为 $s$。函数的返回值是统计以 $node$ 节点及其子树节点作为路径终点且路径和为 $sum$ 的路径数目。那么答案就是 $dfs(root, 0)$。

函数 $dfs(node, s)$ 的递归过程如下：

• 如果当前节点 $node$ 为空，则返回 $0$。
• 计算从根节点到当前节点的路径上的前缀和 $s$。
• 用 $cnt[s - sum]$ 表示以当前节点为路径终点且路径和为 $sum$ 的路径数目，其中 $cnt[s - sum]$ 即为 $cnt$ 中前缀和为 $s - sum$ 的个数。
• 将前缀和 $s$ 的计数值加 $1$，即 $cnt[s] = cnt[s] + 1$。
• 递归地遍历当前节点的左右子节点，即调用函数 $dfs(node.left, s)$ 和 $dfs(node.right, s)$，并将它们的返回值相加。
• 在返回值计算完成以后，需要将当前节点的前缀和 $s$ 的计数值减 $1$，即执行 $cnt[s] = cnt[s] - 1$。
• 最后返回答案。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是二叉树的节点个数。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#   def __init__(self, x):
#     self.val = x
#     self.left = None
#     self.right = None


class Solution:
  def pathSum(self, root: TreeNode, sum: int) -> int:
    def dfs(root: TreeNode, s: int):
      if root is None:
        return 0
      s += root.val
      ans = cnt[s - sum]
      cnt[s] += 1
      ans += dfs(root.left, s)
      ans += dfs(root.right, s)
      cnt[s] -= 1
      return ans

    cnt = Counter({0: 1})
    return dfs(root, 0)

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *   int val;
 *   TreeNode left;
 *   TreeNode right;
 *   TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
  private Map<Long, Integer> cnt = new HashMap<>();
  private int target;

  public int pathSum(TreeNode root, int sum) {
    cnt.put(0L, 1);
    target = sum;
    return dfs(root, 0);
  }

  private int dfs(TreeNode root, long s) {
    if (root == null) {
      return 0;
    }
    s += root.val;
    int ans = cnt.getOrDefault(s - target, 0);
    cnt.merge(s, 1, Integer::sum);
    ans += dfs(root.left, s);
    ans += dfs(root.right, s);
    cnt.merge(s, -1, Integer::sum);
    return ans;
  }
}

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *   int val;
 *   TreeNode *left;
 *   TreeNode *right;
 *   TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
  int pathSum(TreeNode* root, int sum) {
    unordered_map<long long, int> cnt;
    cnt[0] = 1;
    function<int(TreeNode*, long long)> dfs = [&](TreeNode* root, long long s) {
      if (!root) {
        return 0;
      }
      s += root->val;
      int ans = cnt[s - sum];
      ++cnt[s];
      ans += dfs(root->left, s);
      ans += dfs(root->right, s);
      --cnt[s];
      return ans;
    };
    return dfs(root, 0);
  }
};

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *   Val int
 *   Left *TreeNode
 *   Right *TreeNode
 * }
 */
func pathSum(root *TreeNode, sum int) int {
  cnt := map[int]int{0: 1}
  var dfs func(*TreeNode, int) int
  dfs = func(root *TreeNode, s int) int {
    if root == nil {
      return 0
    }
    s += root.Val
    ans := cnt[s-sum]
    cnt[s]++
    ans += dfs(root.Left, s)
    ans += dfs(root.Right, s)
    cnt[s]--
    return ans
  }
  return dfs(root, 0)
}

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * class TreeNode {
 *   val: number
 *   left: TreeNode | null
 *   right: TreeNode | null
 *   constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
 *     this.val = (val===undefined ? 0 : val)
 *     this.left = (left===undefined ? null : left)
 *     this.right = (right===undefined ? null : right)
 *   }
 * }
 */

function pathSum(root: TreeNode | null, sum: number): number {
  const cnt: Map<number, number> = new Map();
  cnt.set(0, 1);
  const dfs = (root: TreeNode | null, s: number): number => {
    if (!root) {
      return 0;
    }
    s += root.val;
    let ans = cnt.get(s - sum) ?? 0;
    cnt.set(s, (cnt.get(s) ?? 0) + 1);
    ans += dfs(root.left, s);
    ans += dfs(root.right, s);
    cnt.set(s, (cnt.get(s) ?? 0) - 1);
    return ans;
  };
  return dfs(root, 0);
}

// Definition for a binary tree node.
// #[derive(Debug, PartialEq, Eq)]
// pub struct TreeNode {
//   pub val: i32,
//   pub left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,
//   pub right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,
// }
//
// impl TreeNode {
//   #[inline]
//   pub fn new(val: i32) -> Self {
//   TreeNode {
//     val,
//     left: None,
//     right: None
//   }
//   }
// }
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;
use std::collections::HashMap;
impl Solution {
  pub fn path_sum(root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, sum: i32) -> i32 {
    let mut cnt = HashMap::new();
    cnt.insert(0, 1);
    return Self::dfs(root, sum, 0, &mut cnt);
  }

  fn dfs(
    root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,
    sum: i32,
    s: i32,
    cnt: &mut HashMap<i32, i32>
  ) -> i32 {
    if let Some(node) = root {
      let node = node.borrow();
      let s = s + node.val;
      let mut ans = *cnt.get(&(s - sum)).unwrap_or(&0);
      *cnt.entry(s).or_insert(0) += 1;
      ans += Self::dfs(node.left.clone(), sum, s, cnt);
      ans += Self::dfs(node.right.clone(), sum, s, cnt);
      *cnt.entry(s).or_insert(0) -= 1;
      return ans;
    }
    return 0;
  }
}