Question

62. 不同路径

English Version

题目描述

一个机器人位于一个 m x n_ _网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

 

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

 

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示从左上角走到 $(i, j)$ 的路径数量，初始时 $f[0][0] = 1$，答案为 $f[m - 1][n - 1]$。

考虑 $f[i][j]$：

• 如果 $i \gt 0$，那么 $f[i][j]$ 可以从 $f[i - 1][j]$ 走一步到达，因此 $f[i][j] = f[i][j] + f[i - 1][j]$；
• 如果 $j \gt 0$，那么 $f[i][j]$ 可以从 $f[i][j - 1]$ 走一步到达，因此 $f[i][j] = f[i][j] + f[i][j - 1]$。

因此，我们有如下的状态转移方程：

$$ f[i][j] = \begin{cases} 1 & i = 0, j = 0 \ f[i - 1][j] + f[i][j - 1] & \text{otherwise} \end{cases} $$

最终的答案即为 $f[m - 1][n - 1]$。

时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别是网格的行数和列数。

我们注意到 $f[i][j]$ 仅与 $f[i - 1][j]$ 和 $f[i][j - 1]$ 有关，因此我们优化掉第一维空间，仅保留第二维空间，得到时间复杂度 $O(m \times n)$，空间复杂度 $O(n)$ 的实现。

class Solution:
  def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
    f = [[0] * n for _ in range(m)]
    f[0][0] = 1
    for i in range(m):
      for j in range(n):
        if i:
          f[i][j] += f[i - 1][j]
        if j:
          f[i][j] += f[i][j - 1]
    return f[-1][-1]

class Solution {
  public int uniquePaths(int m, int n) {
    var f = new int[m][n];
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (i > 0) {
          f[i][j] += f[i - 1][j];
        }
        if (j > 0) {
          f[i][j] += f[i][j - 1];
        }
      }
    }
    return f[m - 1][n - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int uniquePaths(int m, int n) {
    vector<vector<int>> f(m, vector<int>(n));
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (i) {
          f[i][j] += f[i - 1][j];
        }
        if (j) {
          f[i][j] += f[i][j - 1];
        }
      }
    }
    return f[m - 1][n - 1];
  }
};

func uniquePaths(m int, n int) int {
  f := make([][]int, m)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n)
  }
  f[0][0] = 1
  for i := 0; i < m; i++ {
    for j := 0; j < n; j++ {
      if i > 0 {
        f[i][j] += f[i-1][j]
      }
      if j > 0 {
        f[i][j] += f[i][j-1]
      }
    }
  }
  return f[m-1][n-1]
}

function uniquePaths(m: number, n: number): number {
  const f: number[][] = Array(m)
    .fill(0)
    .map(() => Array(n).fill(0));
  f[0][0] = 1;
  for (let i = 0; i < m; ++i) {
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      if (i > 0) {
        f[i][j] += f[i - 1][j];
      }
      if (j > 0) {
        f[i][j] += f[i][j - 1];
      }
    }
  }
  return f[m - 1][n - 1];
}

impl Solution {
  pub fn unique_paths(m: i32, n: i32) -> i32 {
    let (m, n) = (m as usize, n as usize);
    let mut f = vec![1; n];
    for i in 1..m {
      for j in 1..n {
        f[j] += f[j - 1];
      }
    }
    f[n - 1]
  }
}

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function (m, n) {
  const f = Array(m)
    .fill(0)
    .map(() => Array(n).fill(0));
  f[0][0] = 1;
  for (let i = 0; i < m; ++i) {
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      if (i > 0) {
        f[i][j] += f[i - 1][j];
      }
      if (j > 0) {
        f[i][j] += f[i][j - 1];
      }
    }
  }
  return f[m - 1][n - 1];
};

方法二

class Solution:
  def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
    f = [[1] * n for _ in range(m)]
    for i in range(1, m):
      for j in range(1, n):
        f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1]
    return f[-1][-1]

class Solution {
  public int uniquePaths(int m, int n) {
    var f = new int[m][n];
    for (var g : f) {
      Arrays.fill(g, 1);
    }
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      for (int j = 1; j < n; j++) {
        f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
      }
    }
    return f[m - 1][n - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int uniquePaths(int m, int n) {
    vector<vector<int>> f(m, vector<int>(n, 1));
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      for (int j = 1; j < n; ++j) {
        f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
      }
    }
    return f[m - 1][n - 1];
  }
};

func uniquePaths(m int, n int) int {
  f := make([][]int, m)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, n)
    for j := range f[i] {
      f[i][j] = 1
    }
  }
  for i := 1; i < m; i++ {
    for j := 1; j < n; j++ {
      f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]
    }
  }
  return f[m-1][n-1]
}

function uniquePaths(m: number, n: number): number {
  const f: number[][] = Array(m)
    .fill(0)
    .map(() => Array(n).fill(1));
  for (let i = 1; i < m; ++i) {
    for (let j = 1; j < n; ++j) {
      f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
    }
  }
  return f[m - 1][n - 1];
}

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function (m, n) {
  const f = Array(m)
    .fill(0)
    .map(() => Array(n).fill(1));
  for (let i = 1; i < m; ++i) {
    for (let j = 1; j < n; ++j) {
      f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
    }
  }
  return f[m - 1][n - 1];
};

方法三

class Solution:
  def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
    f = [1] * n
    for _ in range(1, m):
      for j in range(1, n):
        f[j] += f[j - 1]
    return f[-1]

class Solution {
  public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[] f = new int[n];
    Arrays.fill(f, 1);
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      for (int j = 1; j < n; ++j) {
        f[j] += f[j - 1];
      }
    }
    return f[n - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int uniquePaths(int m, int n) {
    vector<int> f(n, 1);
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      for (int j = 1; j < n; ++j) {
        f[j] += f[j - 1];
      }
    }
    return f[n - 1];
  }
};

func uniquePaths(m int, n int) int {
  f := make([]int, n+1)
  for i := range f {
    f[i] = 1
  }
  for i := 1; i < m; i++ {
    for j := 1; j < n; j++ {
      f[j] += f[j-1]
    }
  }
  return f[n-1]
}

function uniquePaths(m: number, n: number): number {
  const f: number[] = Array(n).fill(1);
  for (let i = 1; i < m; ++i) {
    for (let j = 1; j < n; ++j) {
      f[j] += f[j - 1];
    }
  }
  return f[n - 1];
}

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function (m, n) {
  const f = Array(n).fill(1);
  for (let i = 1; i < m; ++i) {
    for (let j = 1; j < n; ++j) {
      f[j] += f[j - 1];
    }
  }
  return f[n - 1];
};