Question

2263. 数组变为有序的最小操作次数

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。在一步操作中，你可以：

• 在范围 0 <= i < nums.length 内选出一个下标 i
• 将 nums[i] 的值变为 nums[i] + 1 或 nums[i] - 1

返回将数组 nums 变为 非递增 或 非递减 所需的 最小 操作次数。

 

示例 1：

输入：nums = [3,2,4,5,0]
输出：4
解释：
一种可行的操作顺序，能够将 nums 变为非递增排列：
- nums[1] 加 1 一次，使其变为 3 。
- nums[2] 减 1 一次，使其变为 3 。
- nums[3] 减 1 两次，使其变为 3 。
经过 4 次操作后，nums 变为 [3,3,3,3,0] ，按非递增顺序排列。
注意，也可以用 4 步操作将 nums 变为 [4,4,4,4,0] ，同样满足题目要求。
可以证明最少需要 4 步操作才能将数组变为非递增或非递减排列。

示例 2：

输入：nums = [2,2,3,4]
输出：0
解释：数组已经是按非递减顺序排列了，无需执行任何操作，返回 0 。

示例 3：

输入：nums = [0]
输出：0
解释：数组已经是按非递减顺序排列了，无需执行任何操作，返回 0 。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] <= 1000

 

进阶：你可以设计并实现时间复杂度为 O(n*log(n)) 的解法吗?

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示将数组 $nums$ 的前 $i$ 个元素变为非递减序列，且第 $i$ 个元素的值为 $j$ 所需的最小操作次数。由于数组 $nums$ 元素的取值范围为 $[0, 1000]$，因此我们可以将 $f$ 数组的第二维定义为 $1001$。

状态转移方程如下：

$$ f[i][j] = \min_{0 \leq k \leq j} f[i - 1][k] + \left| j - nums[i - 1] \right| $$

时间复杂度 $O(n \times M)$，空间复杂度 $O(n \times M)$。其中 $n$ 和 $M$ 分别为数组 $nums$ 的长度和数组 $nums$ 元素的取值范围。本题中 $M = 1001$。

由于我们定义的是非递减序列的最小操作次数，因此我们可以将数组 $nums$ 翻转，然后求出非递减序列的最小操作次数，也即是非递增序列的最小操作次数。最后取两者的最小值即可。

class Solution:
  def convertArray(self, nums: List[int]) -> int:
    def solve(nums):
      n = len(nums)
      f = [[0] * 1001 for _ in range(n + 1)]
      for i, x in enumerate(nums, 1):
        mi = inf
        for j in range(1001):
          if mi > f[i - 1][j]:
            mi = f[i - 1][j]
          f[i][j] = mi + abs(x - j)
      return min(f[n])

    return min(solve(nums), solve(nums[::-1]))

class Solution {
  public int convertArray(int[] nums) {
    return Math.min(solve(nums), solve(reverse(nums)));
  }

  private int solve(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int[][] f = new int[n + 1][1001];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int mi = 1 << 30;
      for (int j = 0; j <= 1000; ++j) {
        mi = Math.min(mi, f[i - 1][j]);
        f[i][j] = mi + Math.abs(j - nums[i - 1]);
      }
    }
    int ans = 1 << 30;
    for (int x : f[n]) {
      ans = Math.min(ans, x);
    }
    return ans;
  }

  private int[] reverse(int[] nums) {
    for (int i = 0, j = nums.length - 1; i < j; ++i, --j) {
      int t = nums[i];
      nums[i] = nums[j];
      nums[j] = t;
    }
    return nums;
  }
}

class Solution {
public:
  int convertArray(vector<int>& nums) {
    int a = solve(nums);
    reverse(nums.begin(), nums.end());
    int b = solve(nums);
    return min(a, b);
  }

  int solve(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    int f[n + 1][1001];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int mi = 1 << 30;
      for (int j = 0; j <= 1000; ++j) {
        mi = min(mi, f[i - 1][j]);
        f[i][j] = mi + abs(nums[i - 1] - j);
      }
    }
    return *min_element(f[n], f[n] + 1001);
  }
};

func convertArray(nums []int) int {
  return min(solve(nums), solve(reverse(nums)))
}

func solve(nums []int) int {
  n := len(nums)
  f := make([][1001]int, n+1)
  for i := 1; i <= n; i++ {
    mi := 1 << 30
    for j := 0; j <= 1000; j++ {
      mi = min(mi, f[i-1][j])
      f[i][j] = mi + abs(nums[i-1]-j)
    }
  }
  ans := 1 << 30
  for _, x := range f[n] {
    ans = min(ans, x)
  }
  return ans
}

func reverse(nums []int) []int {
  for i, j := 0, len(nums)-1; i < j; i, j = i+1, j-1 {
    nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
  }
  return nums
}

func abs(x int) int {
  if x < 0 {
    return -x
  }
  return x
}