Question

2915. 和为目标值的最长子序列的长度

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个整数 target 。

返回和为 target 的 nums 子序列中，子序列 长度的最大值 。如果不存在和为 target 的子序列，返回 -1 。

子序列 指的是从原数组中删除一些或者不删除任何元素后，剩余元素保持原来的顺序构成的数组。

 

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4,5], target = 9
输出：3
解释：总共有 3 个子序列的和为 9 ：[4,5] ，[1,3,5] 和 [2,3,4] 。最长的子序列是 [1,3,5] 和 [2,3,4] 。所以答案为 3 。

示例 2：

输入：nums = [4,1,3,2,1,5], target = 7
输出：4
解释：总共有 5 个子序列的和为 7 ：[4,3] ，[4,1,2] ，[4,2,1] ，[1,1,5] 和 [1,3,2,1] 。最长子序列为 [1,3,2,1] 。所以答案为 4 。

示例 3：

输入：nums = [1,1,5,4,5], target = 3
输出：-1
解释：无法得到和为 3 的子序列。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 1 <= nums[i] <= 1000
• 1 <= target <= 1000

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数中选取若干个数，使得这若干个数的和恰好为 $j$ 的最长子序列的长度。初始时 $f[0][0]=0$，其余位置均为 $-\infty$。

对于 $f[i][j]$，我们考虑第 $i$ 个数 $x$，如果不选取 $x$，那么 $f[i][j]=f[i-1][j]$；如果选取 $x$，那么 $f[i][j]=f[i-1][j-x]+1$，其中 $j\ge x$。因此我们有状态转移方程：

$$ f[i][j]=\max{f[i-1][j],f[i-1][j-x]+1} $$

最终答案为 $f[n][target]$，如果 $f[n][target]\le0$，则不存在和为 $target$ 的子序列，返回 $-1$。

时间复杂度 $O(n\times target)$，空间复杂度 $O(n\times target)$。其中 $n$ 为数组长度，而 $target$ 为目标值。

我们注意到 $f[i][j]$ 的状态只与 $f[i-1][\cdot]$ 有关，因此我们可以优化掉第一维，将空间复杂度优化到 $O(target)$。

class Solution:
  def lengthOfLongestSubsequence(self, nums: List[int], target: int) -> int:
    n = len(nums)
    f = [[-inf] * (target + 1) for _ in range(n + 1)]
    f[0][0] = 0
    for i, x in enumerate(nums, 1):
      for j in range(target + 1):
        f[i][j] = f[i - 1][j]
        if j >= x:
          f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - x] + 1)
    return -1 if f[n][target] <= 0 else f[n][target]

class Solution {
  public int lengthOfLongestSubsequence(List<Integer> nums, int target) {
    int n = nums.size();
    int[][] f = new int[n + 1][target + 1];
    final int inf = 1 << 30;
    for (int[] g : f) {
      Arrays.fill(g, -inf);
    }
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int x = nums.get(i - 1);
      for (int j = 0; j <= target; ++j) {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (j >= x) {
          f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - x] + 1);
        }
      }
    }
    return f[n][target] <= 0 ? -1 : f[n][target];
  }
}

class Solution {
public:
  int lengthOfLongestSubsequence(vector<int>& nums, int target) {
    int n = nums.size();
    int f[n + 1][target + 1];
    memset(f, -0x3f, sizeof(f));
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int x = nums[i - 1];
      for (int j = 0; j <= target; ++j) {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        if (j >= x) {
          f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - x] + 1);
        }
      }
    }
    return f[n][target] <= 0 ? -1 : f[n][target];
  }
};

func lengthOfLongestSubsequence(nums []int, target int) int {
  n := len(nums)
  f := make([][]int, n+1)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, target+1)
    for j := range f[i] {
      f[i][j] = -(1 << 30)
    }
  }
  f[0][0] = 0
  for i := 1; i <= n; i++ {
    x := nums[i-1]
    for j := 0; j <= target; j++ {
      f[i][j] = f[i-1][j]
      if j >= x {
        f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-x]+1)
      }
    }
  }
  if f[n][target] <= 0 {
    return -1
  }
  return f[n][target]
}

function lengthOfLongestSubsequence(nums: number[], target: number): number {
  const n = nums.length;
  const f: number[][] = Array.from({ length: n + 1 }, () => Array(target + 1).fill(-Infinity));
  f[0][0] = 0;
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    const x = nums[i - 1];
    for (let j = 0; j <= target; ++j) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      if (j >= x) {
        f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - x] + 1);
      }
    }
  }
  return f[n][target] <= 0 ? -1 : f[n][target];
}

方法二

class Solution:
  def lengthOfLongestSubsequence(self, nums: List[int], target: int) -> int:
    f = [0] + [-inf] * target
    for x in nums:
      for j in range(target, x - 1, -1):
        f[j] = max(f[j], f[j - x] + 1)
    return -1 if f[-1] <= 0 else f[-1]

class Solution {
  public int lengthOfLongestSubsequence(List<Integer> nums, int target) {
    int[] f = new int[target + 1];
    final int inf = 1 << 30;
    Arrays.fill(f, -inf);
    f[0] = 0;
    for (int x : nums) {
      for (int j = target; j >= x; --j) {
        f[j] = Math.max(f[j], f[j - x] + 1);
      }
    }
    return f[target] <= 0 ? -1 : f[target];
  }
}

class Solution {
public:
  int lengthOfLongestSubsequence(vector<int>& nums, int target) {
    int f[target + 1];
    memset(f, -0x3f, sizeof(f));
    f[0] = 0;
    for (int x : nums) {
      for (int j = target; j >= x; --j) {
        f[j] = max(f[j], f[j - x] + 1);
      }
    }
    return f[target] <= 0 ? -1 : f[target];
  }
};

func lengthOfLongestSubsequence(nums []int, target int) int {
  f := make([]int, target+1)
  for i := range f {
    f[i] = -(1 << 30)
  }
  f[0] = 0
  for _, x := range nums {
    for j := target; j >= x; j-- {
      f[j] = max(f[j], f[j-x]+1)
    }
  }
  if f[target] <= 0 {
    return -1
  }
  return f[target]
}

function lengthOfLongestSubsequence(nums: number[], target: number): number {
  const f: number[] = Array(target + 1).fill(-Infinity);
  f[0] = 0;
  for (const x of nums) {
    for (let j = target; j >= x; --j) {
      f[j] = Math.max(f[j], f[j - x] + 1);
    }
  }
  return f[target] <= 0 ? -1 : f[target];
}