Question

2763. 所有子数组中不平衡数字之和

English Version

题目描述

一个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 arr 的 不平衡数字 定义为，在 sarr = sorted(arr) 数组中，满足以下条件的下标数目：

• 0 <= i < n - 1 ，和
• sarr[i+1] - sarr[i] > 1

这里，sorted(arr) 表示将数组 arr 排序后得到的数组。

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，请你返回它所有 子数组 的 不平衡数字 之和。

子数组指的是一个数组中连续一段 非空 的元素序列。

 

示例 1：

输入：nums = [2,3,1,4]
输出：3
解释：总共有 3 个子数组有非 0 不平衡数字：
- 子数组 [3, 1] ，不平衡数字为 1 。
- 子数组 [3, 1, 4] ，不平衡数字为 1 。
- 子数组 [1, 4] ，不平衡数字为 1 。
其他所有子数组的不平衡数字都是 0 ，所以所有子数组的不平衡数字之和为 3 。

示例 2：

输入：nums = [1,3,3,3,5]
输出：8
解释：总共有 7 个子数组有非 0 不平衡数字：
- 子数组 [1, 3] ，不平衡数字为 1 。
- 子数组 [1, 3, 3] ，不平衡数字为 1 。
- 子数组 [1, 3, 3, 3] ，不平衡数字为 1 。
- 子数组 [1, 3, 3, 3, 5] ，不平衡数字为 2 。
- 子数组 [3, 3, 3, 5] ，不平衡数字为 1 。
- 子数组 [3, 3, 5] ，不平衡数字为 1 。
- 子数组 [3, 5] ，不平衡数字为 1 。
其他所有子数组的不平衡数字都是 0 ，所以所有子数组的不平衡数字之和为 8 。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 1 <= nums[i] <= nums.length

解法

方法一：枚举 + 有序集合

我们可以先枚举子数组的左端点 $i$，对于每个 $i$，我们从小到大枚举子数组的右端点 $j$，并且用一个有序列表维护当前子数组中的所有元素，用一个变量 $cnt$ 维护当前子数组的不平衡数字。

对于每个数字 $nums[j]$，我们在有序列表中找到第一个大于等于 $nums[j]$ 的元素 $nums[k]$，以及最后一个小于 $nums[j]$ 的元素 $nums[h]$：

• 如果 $nums[k]$ 存在，并且 $nums[k]$ 与 $nums[j]$ 的差值大于 $1$，那么不平衡数字加 $1$；
• 如果 $nums[h]$ 存在，并且 $nums[j]$ 与 $nums[h]$ 的差值大于 $1$，那么不平衡数字加 $1$；
• 如果 $nums[k]$ 存在，并且 $nums[h]$ 存在，那么将元素 $nums[j]$ 插入 $nums[h]$ 和 $nums[k]$ 的中间，会使得平衡数字减 $1$。

然后，我们将当前子数组的平衡数字累加到答案中，继续遍历，直到遍历完所有子数组。

时间复杂度 $O(n^2 \times \log n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度。

from sortedcontainers import SortedList


class Solution:
  def sumImbalanceNumbers(self, nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    ans = 0
    for i in range(n):
      sl = SortedList()
      cnt = 0
      for j in range(i, n):
        k = sl.bisect_left(nums[j])
        h = k - 1
        if h >= 0 and nums[j] - sl[h] > 1:
          cnt += 1
        if k < len(sl) and sl[k] - nums[j] > 1:
          cnt += 1
        if h >= 0 and k < len(sl) and sl[k] - sl[h] > 1:
          cnt -= 1
        sl.add(nums[j])
        ans += cnt
    return ans

class Solution {
  public int sumImbalanceNumbers(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      TreeMap<Integer, Integer> tm = new TreeMap<>();
      int cnt = 0;
      for (int j = i; j < n; ++j) {
        Integer k = tm.ceilingKey(nums[j]);
        if (k != null && k - nums[j] > 1) {
          ++cnt;
        }
        Integer h = tm.floorKey(nums[j]);
        if (h != null && nums[j] - h > 1) {
          ++cnt;
        }
        if (h != null && k != null && k - h > 1) {
          --cnt;
        }
        tm.merge(nums[j], 1, Integer::sum);
        ans += cnt;
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int sumImbalanceNumbers(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      multiset<int> s;
      int cnt = 0;
      for (int j = i; j < n; ++j) {
        auto it = s.lower_bound(nums[j]);
        if (it != s.end() && *it - nums[j] > 1) {
          ++cnt;
        }
        if (it != s.begin() && nums[j] - *prev(it) > 1) {
          ++cnt;
        }
        if (it != s.end() && it != s.begin() && *it - *prev(it) > 1) {
          --cnt;
        }
        s.insert(nums[j]);
        ans += cnt;
      }
    }
    return ans;
  }
};