Question

1545. 找出第 N 个二进制字符串中的第 K 位

English Version

题目描述

给你两个正整数 n 和 k，二进制字符串  Sn 的形成规则如下：

• S1 = "0"
• 当 i > 1 时，Si = Si-1 + "1" + reverse(invert(Si-1))

其中 + 表示串联操作，reverse(x) 返回反转 x 后得到的字符串，而 invert(x) 则会翻转 x 中的每一位（0 变为 1，而 1 变为 0）。

例如，符合上述描述的序列的前 4 个字符串依次是：

• S1 = "0"
• S2 = "011"
• S3 = "0111001"
• S4 = "011100110110001"

请你返回  Sn 的 第 k 位字符 ，题目数据保证 k 一定在 Sn 长度范围以内。

 

示例 1：

输入：n = 3, k = 1
输出："0"
解释：S3 为 "0111001"，其第 1 位为 "0" 。

示例 2：

输入：n = 4, k = 11
输出："1"
解释：S4 为 "011100110110001"，其第 11 位为 "1" 。

示例 3：

输入：n = 1, k = 1
输出："0"

示例 4：

输入：n = 2, k = 3
输出："1"

 

提示：

• 1 <= n <= 20
• 1 <= k <= 2n - 1

解法

方法一：分类讨论 + 递归

我们可以发现，对于 $S_n$，其前半部分和 $S_{n-1}$ 是一样的，而后半部分是 $S_{n-1}$ 的反转取反。因此我们可以设计一个函数 $dfs(n, k)$，表示第 $n$ 个字符串的第 $k$ 位字符。答案即为 $dfs(n, k)$。

函数 $dfs(n, k)$ 的计算过程如下：

• 如果 $k = 1$，那么答案为 $0$；
• 如果 $k$ 是 $2$ 的幂次方，那么答案为 $1$；
• 如果 $k \times 2 \lt 2^n - 1$，说明 $k$ 在前半部分，答案为 $dfs(n - 1, k)$；
• 否则，答案为 $dfs(n - 1, 2^n - k) \oplus 1$，其中 $\oplus$ 表示异或运算。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为题目给定的 $n$。

class Solution:
  def findKthBit(self, n: int, k: int) -> str:
    def dfs(n: int, k: int) -> int:
      if k == 1:
        return 0
      if (k & (k - 1)) == 0:
        return 1
      m = 1 << n
      if k * 2 < m - 1:
        return dfs(n - 1, k)
      return dfs(n - 1, m - k) ^ 1

    return str(dfs(n, k))

class Solution {
  public char findKthBit(int n, int k) {
    return (char) ('0' + dfs(n, k));
  }

  private int dfs(int n, int k) {
    if (k == 1) {
      return 0;
    }
    if ((k & (k - 1)) == 0) {
      return 1;
    }
    int m = 1 << n;
    if (k * 2 < m - 1) {
      return dfs(n - 1, k);
    }
    return dfs(n - 1, m - k) ^ 1;
  }
}

class Solution {
public:
  char findKthBit(int n, int k) {
    function<int(int, int)> dfs = [&](int n, int k) {
      if (k == 1) {
        return 0;
      }
      if ((k & (k - 1)) == 0) {
        return 1;
      }
      int m = 1 << n;
      if (k * 2 < m - 1) {
        return dfs(n - 1, k);
      }
      return dfs(n - 1, m - k) ^ 1;
    };
    return '0' + dfs(n, k);
  }
};

func findKthBit(n int, k int) byte {
  var dfs func(n, k int) int
  dfs = func(n, k int) int {
    if k == 1 {
      return 0
    }
    if k&(k-1) == 0 {
      return 1
    }
    m := 1 << n
    if k*2 < m-1 {
      return dfs(n-1, k)
    }
    return dfs(n-1, m-k) ^ 1
  }
  return byte('0' + dfs(n, k))
}

function findKthBit(n: number, k: number): string {
  const dfs = (n: number, k: number): number => {
    if (k === 1) {
      return 0;
    }
    if ((k & (k - 1)) === 0) {
      return 1;
    }
    const m = 1 << n;
    if (k * 2 < m - 1) {
      return dfs(n - 1, k);
    }
    return dfs(n - 1, m - k) ^ 1;
  };
  return dfs(n, k).toString();
}