Question

70. 爬楼梯

English Version

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

 

提示：

• 1 <= n <= 45

解法

方法一：递推

我们定义 $f[i]$ 表示爬到第 $i$ 阶楼梯的方法数，那么 $f[i]$ 可以由 $f[i - 1]$ 和 $f[i - 2]$ 转移而来，即：

$$ f[i] = f[i - 1] + f[i - 2] $$

初始条件为 $f[0] = 1$，$f[1] = 1$，即爬到第 0 阶楼梯的方法数为 1，爬到第 1 阶楼梯的方法数也为 1。

答案即为 $f[n]$。

由于 $f[i]$ 只与 $f[i - 1]$ 和 $f[i - 2]$ 有关，因此我们可以只用两个变量 $a$ 和 $b$ 来维护当前的方法数，空间复杂度降低为 $O(1)$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def climbStairs(self, n: int) -> int:
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
      a, b = b, a + b
    return b

class Solution {
  public int climbStairs(int n) {
    int a = 0, b = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int c = a + b;
      a = b;
      b = c;
    }
    return b;
  }
}

class Solution {
public:
  int climbStairs(int n) {
    int a = 0, b = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int c = a + b;
      a = b;
      b = c;
    }
    return b;
  }
};

func climbStairs(n int) int {
  a, b := 0, 1
  for i := 0; i < n; i++ {
    a, b = b, a+b
  }
  return b
}

function climbStairs(n: number): number {
  let p = 1;
  let q = 1;
  for (let i = 1; i < n; i++) {
    [p, q] = [q, p + q];
  }
  return q;
}

impl Solution {
  pub fn climb_stairs(n: i32) -> i32 {
    let (mut p, mut q) = (1, 1);
    for i in 1..n {
      let t = p + q;
      p = q;
      q = t;
    }
    q
  }
}

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function (n) {
  let a = 0,
    b = 1;
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    const c = a + b;
    a = b;
    b = c;
  }
  return b;
};

class Solution {
  /**
   * @param Integer $n
   * @return Integer
   */
  function climbStairs($n) {
    if ($n <= 2) {
      return $n;
    }
    $dp = [0, 1, 2];
    for ($i = 3; $i <= $n; $i++) {
      $dp[$i] = $dp[$i - 2] + $dp[$i - 1];
    }
    return $dp[$n];
  }
}

方法二：矩阵快速幂加速递推

我们设 $Fib(n)$ 表示一个 $1 \times 2$ 的矩阵 $\begin{bmatrix} F_n & F_{n - 1} \end{bmatrix}$，其中 $F_n$ 和 $F_{n - 1}$ 分别是第 $n$ 个和第 $n - 1$ 个斐波那契数。

我们希望根据 $Fib(n-1) = \begin{bmatrix} F_{n - 1} & F_{n - 2} \end{bmatrix}$ 推出 $Fib(n)$。也即是说，我们需要一个矩阵 $base$，使得 $Fib(n - 1) \times base = Fib(n)$，即：

$$ \begin{bmatrix} F_{n - 1} & F_{n - 2} \end{bmatrix} \times base = \begin{bmatrix} F_n & F_{n - 1} \end{bmatrix} $$

由于 $F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}$，所以矩阵 $base$ 的第一列为：

$$ \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} $$

第二列为：

$$ \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} $$

因此有：

$$ \begin{bmatrix} F_{n - 1} & F_{n - 2} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}1 & 1 \ 1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_n & F_{n - 1} \end{bmatrix} $$

我们定义初始矩阵 $res = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$，那么 $F_n$ 等于 $res$ 乘以 $base^{n - 1}$ 的结果矩阵中第一行的第一个元素。使用矩阵快速幂求解即可。

时间复杂度 $O(\log n)$，空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def climbStairs(self, n: int) -> int:
    def mul(a: List[List[int]], b: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
      m, n = len(a), len(b[0])
      c = [[0] * n for _ in range(m)]
      for i in range(m):
        for j in range(n):
          for k in range(len(a[0])):
            c[i][j] = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]
      return c

    def pow(a: List[List[int]], n: int) -> List[List[int]]:
      res = [[1, 1]]
      while n:
        if n & 1:
          res = mul(res, a)
        n >>= 1
        a = mul(a, a)
      return res

    a = [[1, 1], [1, 0]]
    return pow(a, n - 1)[0][0]

class Solution {
  private final int[][] a = {{1, 1}, {1, 0}};

  public int climbStairs(int n) {
    return pow(a, n - 1)[0][0];
  }

  private int[][] mul(int[][] a, int[][] b) {
    int m = a.length, n = b[0].length;
    int[][] c = new int[m][n];
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        for (int k = 0; k < a[0].length; ++k) {
          c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
        }
      }
    }
    return c;
  }

  private int[][] pow(int[][] a, int n) {
    int[][] res = {{1, 1}, {0, 0}};
    while (n > 0) {
      if ((n & 1) == 1) {
        res = mul(res, a);
      }
      n >>= 1;
      a = mul(a, a);
    }
    return res;
  }
}

class Solution {
public:
  int climbStairs(int n) {
    vector<vector<long long>> a = {{1, 1}, {1, 0}};
    return pow(a, n - 1)[0][0];
  }

private:
  vector<vector<long long>> mul(vector<vector<long long>>& a, vector<vector<long long>>& b) {
    int m = a.size(), n = b[0].size();
    vector<vector<long long>> res(m, vector<long long>(n));
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        for (int k = 0; k < a[0].size(); ++k) {
          res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
        }
      }
    }
    return res;
  }

  vector<vector<long long>> pow(vector<vector<long long>>& a, int n) {
    vector<vector<long long>> res = {{1, 1}, {0, 0}};
    while (n) {
      if (n & 1) {
        res = mul(res, a);
      }
      a = mul(a, a);
      n >>= 1;
    }
    return res;
  }
};

type matrix [2][2]int

func climbStairs(n int) int {
  a := matrix{{1, 1}, {1, 0}}
  return pow(a, n-1)[0][0]
}

func mul(a, b matrix) (c matrix) {
  m, n := len(a), len(b[0])
  for i := 0; i < m; i++ {
    for j := 0; j < n; j++ {
      for k := 0; k < len(a[0]); k++ {
        c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
      }
    }
  }
  return
}

func pow(a matrix, n int) matrix {
  res := matrix{{1, 1}, {0, 0}}
  for n > 0 {
    if n&1 == 1 {
      res = mul(res, a)
    }
    a = mul(a, a)
    n >>= 1
  }
  return res
}

function climbStairs(n: number): number {
  const a = [
    [1, 1],
    [1, 0],
  ];
  return pow(a, n - 1)[0][0];
}

function mul(a: number[][], b: number[][]): number[][] {
  const [m, n] = [a.length, b[0].length];
  const c = Array(m)
    .fill(0)
    .map(() => Array(n).fill(0));
  for (let i = 0; i < m; ++i) {
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      for (let k = 0; k < a[0].length; ++k) {
        c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
      }
    }
  }
  return c;
}

function pow(a: number[][], n: number): number[][] {
  let res = [
    [1, 1],
    [0, 0],
  ];
  while (n) {
    if (n & 1) {
      res = mul(res, a);
    }
    a = mul(a, a);
    n >>= 1;
  }
  return res;
}

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function (n) {
  const a = [
    [1, 1],
    [1, 0],
  ];
  return pow(a, n - 1)[0][0];
};

function mul(a, b) {
  const [m, n] = [a.length, b[0].length];
  const c = Array(m)
    .fill(0)
    .map(() => Array(n).fill(0));
  for (let i = 0; i < m; ++i) {
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      for (let k = 0; k < a[0].length; ++k) {
        c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
      }
    }
  }
  return c;
}

function pow(a, n) {
  let res = [
    [1, 1],
    [0, 0],
  ];
  while (n) {
    if (n & 1) {
      res = mul(res, a);
    }
    a = mul(a, a);
    n >>= 1;
  }
  return res;
}

方法三

import numpy as np


class Solution:
  def climbStairs(self, n: int) -> int:
    res = np.mat([(1, 1)], np.dtype("O"))
    factor = np.mat([(1, 1), (1, 0)], np.dtype("O"))
    n -= 1
    while n:
      if n & 1:
        res *= factor
      factor *= factor
      n >>= 1
    return res[0, 0]