Question

149. 直线上最多的点数

English Version

题目描述

给你一个数组 points ，其中 points[i] = [xi, yi] 表示 X-Y 平面上的一个点。求最多有多少个点在同一条直线上。

 

示例 1：

输入：points = [[1,1],[2,2],[3,3]]
输出：3

示例 2：

输入：points = [[1,1],[3,2],[5,3],[4,1],[2,3],[1,4]]
输出：4

 

提示：

• 1 <= points.length <= 300
• points[i].length == 2
• -104 <= xi, yi <= 104
• points 中的所有点 互不相同

解法

方法一：暴力枚举

我们可以枚举任意两个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，把这两个点连成一条直线，那么此时这条直线上的点的个数就是 2，接下来我们再枚举其他点 $(x_3, y_3)$，判断它们是否在同一条直线上，如果在，那么直线上的点的个数就加 1，如果不在，那么直线上的点的个数不变。找出所有直线上的点的个数的最大值，即为答案。

时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(1)$。其中 $n$ 是数组 points 的长度。

class Solution:
  def maxPoints(self, points: List[List[int]]) -> int:
    n = len(points)
    ans = 1
    for i in range(n):
      x1, y1 = points[i]
      for j in range(i + 1, n):
        x2, y2 = points[j]
        cnt = 2
        for k in range(j + 1, n):
          x3, y3 = points[k]
          a = (y2 - y1) * (x3 - x1)
          b = (y3 - y1) * (x2 - x1)
          cnt += a == b
        ans = max(ans, cnt)
    return ans

class Solution {
  public int maxPoints(int[][] points) {
    int n = points.length;
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];
        int cnt = 2;
        for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
          int x3 = points[k][0], y3 = points[k][1];
          int a = (y2 - y1) * (x3 - x1);
          int b = (y3 - y1) * (x2 - x1);
          if (a == b) {
            ++cnt;
          }
        }
        ans = Math.max(ans, cnt);
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int maxPoints(vector<vector<int>>& points) {
    int n = points.size();
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];
        int cnt = 2;
        for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
          int x3 = points[k][0], y3 = points[k][1];
          int a = (y2 - y1) * (x3 - x1);
          int b = (y3 - y1) * (x2 - x1);
          cnt += a == b;
        }
        ans = max(ans, cnt);
      }
    }
    return ans;
  }
};

func maxPoints(points [][]int) int {
  n := len(points)
  ans := 1
  for i := 0; i < n; i++ {
    x1, y1 := points[i][0], points[i][1]
    for j := i + 1; j < n; j++ {
      x2, y2 := points[j][0], points[j][1]
      cnt := 2
      for k := j + 1; k < n; k++ {
        x3, y3 := points[k][0], points[k][1]
        a := (y2 - y1) * (x3 - x1)
        b := (y3 - y1) * (x2 - x1)
        if a == b {
          cnt++
        }
      }
      if ans < cnt {
        ans = cnt
      }
    }
  }
  return ans
}

public class Solution {
  public int MaxPoints(int[][] points) {
    int n = points.Length;
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];
        int cnt = 2;
        for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
          int x3 = points[k][0], y3 = points[k][1];
          int a = (y2 - y1) * (x3 - x1);
          int b = (y3 - y1) * (x2 - x1);
          if (a == b) {
            ++cnt;
          }
        }
        if (ans < cnt) {
          ans = cnt;
        }
      }
    }
    return ans;
  }
}

方法二：枚举 + 哈希表

我们可以枚举一个点 $(x_1, y_1)$，把其他所有点 $(x_2, y_2)$ 与 $(x_1, y_1)$ 连成的直线的斜率存入哈希表中，斜率相同的点在同一条直线上，哈希表的键为斜率，值为直线上的点的个数。找出哈希表中的最大值，即为答案。为了避免精度问题，我们可以将斜率 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 进行约分，约分的方法是求最大公约数，然后分子分母同时除以最大公约数，将求得的分子分母作为哈希表的键。

时间复杂度 $O(n^2 \times \log m)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 和 $m$ 分别是数组 points 的长度和数组 points 所有横纵坐标差的最大值。

相似题目：

• 面试题 16.14. 最佳直线

class Solution:
  def maxPoints(self, points: List[List[int]]) -> int:
    def gcd(a, b):
      return a if b == 0 else gcd(b, a % b)

    n = len(points)
    ans = 1
    for i in range(n):
      x1, y1 = points[i]
      cnt = Counter()
      for j in range(i + 1, n):
        x2, y2 = points[j]
        dx, dy = x2 - x1, y2 - y1
        g = gcd(dx, dy)
        k = (dx // g, dy // g)
        cnt[k] += 1
        ans = max(ans, cnt[k] + 1)
    return ans

class Solution {
  public int maxPoints(int[][] points) {
    int n = points.length;
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];
      Map<String, Integer> cnt = new HashMap<>();
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];
        int dx = x2 - x1, dy = y2 - y1;
        int g = gcd(dx, dy);
        String k = (dx / g) + "." + (dy / g);
        cnt.put(k, cnt.getOrDefault(k, 0) + 1);
        ans = Math.max(ans, cnt.get(k) + 1);
      }
    }
    return ans;
  }

  private int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
  }
}

class Solution {
public:
  int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
  }
  int maxPoints(vector<vector<int>>& points) {
    int n = points.size();
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1];
      unordered_map<string, int> cnt;
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        int x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];
        int dx = x2 - x1, dy = y2 - y1;
        int g = gcd(dx, dy);
        string k = to_string(dx / g) + "." + to_string(dy / g);
        cnt[k]++;
        ans = max(ans, cnt[k] + 1);
      }
    }
    return ans;
  }
};

func maxPoints(points [][]int) int {
  n := len(points)
  ans := 1
  type pair struct{ x, y int }
  for i := 0; i < n; i++ {
    x1, y1 := points[i][0], points[i][1]
    cnt := map[pair]int{}
    for j := i + 1; j < n; j++ {
      x2, y2 := points[j][0], points[j][1]
      dx, dy := x2-x1, y2-y1
      g := gcd(dx, dy)
      k := pair{dx / g, dy / g}
      cnt[k]++
      if ans < cnt[k]+1 {
        ans = cnt[k] + 1
      }
    }
  }
  return ans
}

func gcd(a, b int) int {
  if b == 0 {
    return a
  }
  return gcd(b, a%b)
}