Question

2050. 并行课程 III

English Version

题目描述

给你一个整数 n ，表示有 n 节课，课程编号从 1 到 n 。同时给你一个二维整数数组 relations ，其中 relations[j] = [prevCoursej, nextCoursej] ，表示课程 prevCoursej 必须在课程 nextCoursej 之前 完成（先修课的关系）。同时给你一个下标从 0 开始的整数数组 time ，其中 time[i] 表示完成第 (i+1) 门课程需要花费的 月份 数。

请你根据以下规则算出完成所有课程所需要的 最少 月份数：

• 如果一门课的所有先修课都已经完成，你可以在 任意 时间开始这门课程。
• 你可以 同时 上 任意门课程 。

请你返回完成所有课程所需要的 最少 月份数。

注意：测试数据保证一定可以完成所有课程（也就是先修课的关系构成一个有向无环图）。

 

示例 1:

输入：n = 3, relations = [[1,3],[2,3]], time = [3,2,5]
输出：8
解释：上图展示了输入数据所表示的先修关系图，以及完成每门课程需要花费的时间。
你可以在月份 0 同时开始课程 1 和 2 。
课程 1 花费 3 个月，课程 2 花费 2 个月。
所以，最早开始课程 3 的时间是月份 3 ，完成所有课程所需时间为 3 + 5 = 8 个月。

示例 2：

输入：n = 5, relations = [[1,5],[2,5],[3,5],[3,4],[4,5]], time = [1,2,3,4,5]
输出：12
解释：上图展示了输入数据所表示的先修关系图，以及完成每门课程需要花费的时间。
你可以在月份 0 同时开始课程 1 ，2 和 3 。
在月份 1，2 和 3 分别完成这三门课程。
课程 4 需在课程 3 之后开始，也就是 3 个月后。课程 4 在 3 + 4 = 7 月完成。
课程 5 需在课程 1，2，3 和 4 之后开始，也就是在 max(1,2,3,7) = 7 月开始。
所以完成所有课程所需的最少时间为 7 + 5 = 12 个月。

 

提示：

• 1 <= n <= 5 * 104
• 0 <= relations.length <= min(n * (n - 1) / 2, 5 * 104)
• relations[j].length == 2
• 1 <= prevCoursej, nextCoursej <= n
• prevCoursej != nextCoursej
• 所有的先修课程对 [prevCoursej, nextCoursej] 都是 互不相同 的。
• time.length == n
• 1 <= time[i] <= 104
• 先修课程图是一个有向无环图。

解法

方法一：拓扑排序 + 动态规划

我们首先根据给定的先修课程关系，构建出一个有向无环图，对该图进行拓扑排序，然后根据拓扑排序的结果，使用动态规划求出完成所有课程所需要的最少时间。

我们定义以下几个数据结构或变量：

• 邻接表 $g$ 存储有向无环图，同时使用一个数组 $indeg$ 存储每个节点的入度；
• 队列 $q$ 存储所有入度为 $0$ 的节点；
• 数组 $f$ 存储每个节点的最早完成时间，初始时 $f[i] = 0$；
• 变量 $ans$ 记录最终的答案，初始时 $ans = 0$；

当 $q$ 非空时，依次取出队首节点 $i$，遍历 $g[i]$ 中的每个节点 $j$，更新 $f[j] = max(f[j], f[i] + time[j])$，同时更新 $ans = \max(ans, f[j])$，并将 $j$ 的入度减 $1$，如果此时 $j$ 的入度为 $0$，则将 $j$ 加入队列 $q$ 中；

最终返回 $ans$。

时间复杂度 $O(m + n)$，空间复杂度 $O(m + n)$。其中 $m$ 是数组 $relations$ 的长度。

class Solution:
  def minimumTime(self, n: int, relations: List[List[int]], time: List[int]) -> int:
    g = defaultdict(list)
    indeg = [0] * n
    for a, b in relations:
      g[a - 1].append(b - 1)
      indeg[b - 1] += 1
    q = deque()
    f = [0] * n
    ans = 0
    for i, (v, t) in enumerate(zip(indeg, time)):
      if v == 0:
        q.append(i)
        f[i] = t
        ans = max(ans, t)
    while q:
      i = q.popleft()
      for j in g[i]:
        f[j] = max(f[j], f[i] + time[j])
        ans = max(ans, f[j])
        indeg[j] -= 1
        if indeg[j] == 0:
          q.append(j)
    return ans

class Solution {
  public int minimumTime(int n, int[][] relations, int[] time) {
    List<Integer>[] g = new List[n];
    Arrays.setAll(g, k -> new ArrayList<>());
    int[] indeg = new int[n];
    for (int[] e : relations) {
      int a = e[0] - 1, b = e[1] - 1;
      g[a].add(b);
      ++indeg[b];
    }
    Deque<Integer> q = new ArrayDeque<>();
    int[] f = new int[n];
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int v = indeg[i], t = time[i];
      if (v == 0) {
        q.offer(i);
        f[i] = t;
        ans = Math.max(ans, t);
      }
    }
    while (!q.isEmpty()) {
      int i = q.pollFirst();
      for (int j : g[i]) {
        f[j] = Math.max(f[j], f[i] + time[j]);
        ans = Math.max(ans, f[j]);
        if (--indeg[j] == 0) {
          q.offer(j);
        }
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int minimumTime(int n, vector<vector<int>>& relations, vector<int>& time) {
    vector<vector<int>> g(n);
    vector<int> indeg(n);
    for (auto& e : relations) {
      int a = e[0] - 1, b = e[1] - 1;
      g[a].push_back(b);
      ++indeg[b];
    }
    queue<int> q;
    vector<int> f(n);
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int v = indeg[i], t = time[i];
      if (v == 0) {
        q.push(i);
        f[i] = t;
        ans = max(ans, t);
      }
    }
    while (!q.empty()) {
      int i = q.front();
      q.pop();
      for (int j : g[i]) {
        if (--indeg[j] == 0) {
          q.push(j);
        }
        f[j] = max(f[j], f[i] + time[j]);
        ans = max(ans, f[j]);
      }
    }
    return ans;
  }
};

func minimumTime(n int, relations [][]int, time []int) int {
  g := make([][]int, n)
  indeg := make([]int, n)
  for _, e := range relations {
    a, b := e[0]-1, e[1]-1
    g[a] = append(g[a], b)
    indeg[b]++
  }
  f := make([]int, n)
  q := []int{}
  ans := 0
  for i, v := range indeg {
    if v == 0 {
      q = append(q, i)
      f[i] = time[i]
      ans = max(ans, time[i])
    }
  }
  for len(q) > 0 {
    i := q[0]
    q = q[1:]
    for _, j := range g[i] {
      indeg[j]--
      if indeg[j] == 0 {
        q = append(q, j)
      }
      f[j] = max(f[j], f[i]+time[j])
      ans = max(ans, f[j])
    }
  }
  return ans
}

function minimumTime(n: number, relations: number[][], time: number[]): number {
  const g: number[][] = Array(n)
    .fill(0)
    .map(() => []);
  const indeg: number[] = Array(n).fill(0);
  for (const [a, b] of relations) {
    g[a - 1].push(b - 1);
    ++indeg[b - 1];
  }
  const q: number[] = [];
  const f: number[] = Array(n).fill(0);
  let ans: number = 0;
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    if (indeg[i] === 0) {
      q.push(i);
      f[i] = time[i];
      ans = Math.max(ans, f[i]);
    }
  }
  while (q.length > 0) {
    const i = q.shift()!;
    for (const j of g[i]) {
      f[j] = Math.max(f[j], f[i] + time[j]);
      ans = Math.max(ans, f[j]);
      if (--indeg[j] === 0) {
        q.push(j);
      }
    }
  }
  return ans;
}