Question

为了能讲明白这个算法，我们先构造图7-6-1的邻接矩阵，如图7-6-3的右图所示。

图7-6-3

也就是说，现在我们已经有了一个存储结构为MGragh的G（见本书7.4节邻接矩阵）。G有9个顶点，它的arc二维数组如图7-6-3的右图所示。数组中的我们用65535来代表∞。

于是普里姆（Prim）算法代码如下，左侧数字为行号。其中INFINITY为权值极大值，不妨是65535，MAXVEX为顶点个数最大值，此处大于等于9即可。现在假设我们自己就是计算机，在调用MiniSpanTree_Prim函数，输入上述的邻接矩阵后，看看它是如何运行并打印出最小生成树的。

/* Prim算法生成最小生成树 */
  void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
  {
      int min, i, j, k;
      /* 保存相关顶点下标 */
      int adjvex[MAXVEX];                        
      /* 保存相关顶点间边的权值 */
      int lowcost[MAXVEX];                       
      /* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
      /* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
      lowcost[0] = 0;                            
      /* 初始化第一个顶点下标为0 */
      adjvex[0] = 0;                             
      /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
      for (i = 1; i < G.numVertexes; i++)        
      {
         /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
         lowcost[i] = G.arc[0][i];              
         /* 初始化都为v0的下标 */
         adjvex[i] = 0;                         
     }
     for (i = 1; i < G.numVertexes; i++)
     {
         /* 初始化最小权值为∞， */
         /* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
         min = INFINITY;                        
         j = 1; k = 0;
         /* 循环全部顶点 */
         while (j < G.numVertexes)              
         {
             /* 如果权值不为0且权值小于min */
             if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
             {                                  
                 /* 则让当前权值成为最小值 */
                 min = lowcost[j];              
                 /* 将当前最小值的下标存入k */
                 k = j;                         
             }
             j++;
         }
         /* 打印当前顶点边中权值最小边 */
         printf("(%d,%d)", adjvex[k], k);       
         /* 将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务 */
         lowcost[k] = 0;                        
         /* 循环所有顶点 */
         for (j = 1; j < G.numVertexes; j++)    
         {
             /* 若下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
             if (lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
             {                                  
                 /* 将较小权值存入lowcost */
                 lowcost[j] = G.arc[k][j];      
                 /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
                 adjvex[j] = k;                 
             }
         }
     }
 }

1．程序开始运行，我们由第4～5行，创建了两个一维数组lowcost和adjvex，长度都为顶点个数9。它们的作用我们慢慢细说。

2．第6～7行我们分别给这两个数组的第一个下标位赋值为0，adjvex[0]=0其实意思就是我们现在从顶点v₀开始（事实上，最小生成树从哪个顶点开始计算都无所谓，我们假定从v₀开始），lowcost[0]=0就表示v₀已经被纳入到最小生成树中，之后凡是lowcost数组中的值被设置为0就是表示此下标的顶点被纳入最小生成树。

3．第8～12行表示我们读取图7-6-3的右图邻接矩阵的第一行数据。将数值赋值给lowcost数组，所以此时lowcost数组值为{0,10,65535,65535,65535,11,65535,65535,65535}，而adjvex则全部为0。此时，我们已经完成了整个初始化的工作，准备开始生成。

4．第13～36行，整个循环过程就是构造最小生成树的过程。

5．第15～16行，将min设置为了一个极大值65535，它的目的是为了之后找到一定范围内的最小权值。j是用来做顶点下标循环的变量，k是用来存储最小权值的顶点下标。

6．第17～25行，循环中不断修改min为当前lowcost数组中最小值，并用k保留此最小值的顶点下标。经过循环后，min=10，k=1。注意19行if判断的lowcost[j]!=0表示已经是生成树的顶点不参与最小权值的查找。

7．第26行，因k=1，adjvex[1]=0，所以打印结果为(0,1)，表示v₀至v₁边为最小生成树的第一条边。如图7-6-4所示。

图7-6-4

8．第27行，此时因k=1我们将lowcost[k]=0就是说顶点v₁纳入到最小生成树中。此时lowcost数组值为{0,0,65535,65535,65535,11,65535,65535,65535}。

9．第28～35行，j循环由1至8，因k=1，查找邻接矩阵的第v₁行的各个权值，与low-cost的对应值比较，若更小则修改low-cost值，并将k值存入adjvex数组中。因第v₁行有18、16、12均比65535小，所以最终lowcost数组的值为：{0,0,18,65535,65535,11,16,65535,12}。adjvex数组的值为：{0,0,1,0,0,0,1,0,1}。这里第30行if判断的lowcost[j]!=0也说明v₀和v₁已经是生成树的顶点不参与最小权值的比对了。10．再次循环，由第15行到第26行，此时min=11，k=5，adjvex[5]=0。因此打印结构为(0,5)。表示v₀至v₅边为最小生成树的第二条边，如图7-6-5所示。

图7-6-5

11．接下来执行到36行，lowcost数组的值为：{0,0,18,65535,26,0,16,65535,12}。ad-jvex数组的值为：{0,0,1,0,5,0,1,0,1}。12．之后，相信大家也都会自己去模拟了。通过不断的转换，构造的过程如图7-6-6中图1～图6所示。

图7-6-6

有了这样的讲解，再来介绍普里姆（Prim）算法的实现定义可能就容易理解一些。

假设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u₀}(u₀∈V)，TE={}开始。重复执行下述操作：在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条代价最小的边(u₀,v₀)并入集合TE，同时v₀并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最小生成树。

由算法代码中的循环嵌套可得知此算法的时间复杂度为O(n²)。