Question

1105. 填充书架

English Version

题目描述

给定一个数组 books ，其中 books[i] = [thicknessi, heighti] 表示第 i 本书的厚度和高度。你也会得到一个整数 shelfWidth 。

按顺序 将这些书摆放到总宽度为 shelfWidth 的书架上。

先选几本书放在书架上（它们的厚度之和小于等于书架的宽度 shelfWidth ），然后再建一层书架。重复这个过程，直到把所有的书都放在书架上。

需要注意的是，在上述过程的每个步骤中，摆放书的顺序与给定图书数组 books 顺序相同。

• 例如，如果这里有 5 本书，那么可能的一种摆放情况是：第一和第二本书放在第一层书架上，第三本书放在第二层书架上，第四和第五本书放在最后一层书架上。

每一层所摆放的书的最大高度就是这一层书架的层高，书架整体的高度为各层高之和。

以这种方式布置书架，返回书架整体可能的最小高度。

 

示例 1：

输入：books = [[1,1],[2,3],[2,3],[1,1],[1,1],[1,1],[1,2]], shelfWidth = 4
输出：6
解释：
3 层书架的高度和为 1 + 3 + 2 = 6 。
第 2 本书不必放在第一层书架上。

示例 2:

输入: books = [[1,3],[2,4],[3,2]], shelfWidth = 6
输出: 4

 

提示：

• 1 <= books.length <= 1000
• 1 <= thicknessi <= shelfWidth <= 1000
• 1 <= heighti <= 1000

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i]$ 表示前 $i$ 本书摆放的最小高度，初始时 $f[0] = 0$，答案为 $f[n]$。

考虑 $f[i]$，最后一本书为 $books[i - 1]$，其厚度为 $w$，高度为 $h$。

• 如果这本书单独摆放在新的一层，那么有 $f[i] = f[i - 1] + h$；
• 如果这本书可以与前面的最后几本书摆放在同一层，我们从后往前枚举同一层的第一本书 $boos[j-1]$，其中 $j \in [1, i - 1]$，将书的厚度累积到 $w$，如果 $w \gt shelfWidth$，说明此时的 $books[j-1]$ 已经无法与 $books[i-1]$ 摆放在同一层，停止枚举；否则我们更新当前层的最大高度 $h = \max(h, books[j-1][1])$，那么此时有 $f[i] = \min(f[i], f[j - 1] + h)$。

最终的答案即为 $f[n]$。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $books$ 的长度。

class Solution:
  def minHeightShelves(self, books: List[List[int]], shelfWidth: int) -> int:
    n = len(books)
    f = [0] * (n + 1)
    for i, (w, h) in enumerate(books, 1):
      f[i] = f[i - 1] + h
      for j in range(i - 1, 0, -1):
        w += books[j - 1][0]
        if w > shelfWidth:
          break
        h = max(h, books[j - 1][1])
        f[i] = min(f[i], f[j - 1] + h)
    return f[n]

class Solution {
  public int minHeightShelves(int[][] books, int shelfWidth) {
    int n = books.length;
    int[] f = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int w = books[i - 1][0], h = books[i - 1][1];
      f[i] = f[i - 1] + h;
      for (int j = i - 1; j > 0; --j) {
        w += books[j - 1][0];
        if (w > shelfWidth) {
          break;
        }
        h = Math.max(h, books[j - 1][1]);
        f[i] = Math.min(f[i], f[j - 1] + h);
      }
    }
    return f[n];
  }
}

class Solution {
public:
  int minHeightShelves(vector<vector<int>>& books, int shelfWidth) {
    int n = books.size();
    int f[n + 1];
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int w = books[i - 1][0], h = books[i - 1][1];
      f[i] = f[i - 1] + h;
      for (int j = i - 1; j > 0; --j) {
        w += books[j - 1][0];
        if (w > shelfWidth) {
          break;
        }
        h = max(h, books[j - 1][1]);
        f[i] = min(f[i], f[j - 1] + h);
      }
    }
    return f[n];
  }
};

func minHeightShelves(books [][]int, shelfWidth int) int {
  n := len(books)
  f := make([]int, n+1)
  for i := 1; i <= n; i++ {
    w, h := books[i-1][0], books[i-1][1]
    f[i] = f[i-1] + h
    for j := i - 1; j > 0; j-- {
      w += books[j-1][0]
      if w > shelfWidth {
        break
      }
      h = max(h, books[j-1][1])
      f[i] = min(f[i], f[j-1]+h)
    }
  }
  return f[n]
}

function minHeightShelves(books: number[][], shelfWidth: number): number {
  const n = books.length;
  const f = new Array(n + 1).fill(0);
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    let [w, h] = books[i - 1];
    f[i] = f[i - 1] + h;
    for (let j = i - 1; j > 0; --j) {
      w += books[j - 1][0];
      if (w > shelfWidth) {
        break;
      }
      h = Math.max(h, books[j - 1][1]);
      f[i] = Math.min(f[i], f[j - 1] + h);
    }
  }
  return f[n];
}

public class Solution {
  public int MinHeightShelves(int[][] books, int shelfWidth) {
    int n = books.Length;
    int[] f = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      int w = books[i - 1][0], h = books[i - 1][1];
      f[i] = f[i - 1] + h;
      for (int j = i - 1; j > 0; --j) {
        w += books[j - 1][0];
        if (w > shelfWidth) {
          break;
        }
        h = Math.Max(h, books[j - 1][1]);
        f[i] = Math.Min(f[i], f[j - 1] + h);
      }
    }
    return f[n];
  }
}