Question

1439. 有序矩阵中的第 k 个最小数组和

English Version

题目描述

给你一个 m * n 的矩阵 mat，以及一个整数 k ，矩阵中的每一行都以非递减的顺序排列。

你可以从每一行中选出 1 个元素形成一个数组。返回所有可能数组中的第 k 个 最小 数组和。

 

示例 1：

输入：mat = [[1,3,11],[2,4,6]], k = 5
输出：7
解释：从每一行中选出一个元素，前 k 个和最小的数组分别是：
[1,2], [1,4], [3,2], [3,4], [1,6]。其中第 5 个的和是 7 。  

示例 2：

输入：mat = [[1,3,11],[2,4,6]], k = 9
输出：17

示例 3：

输入：mat = [[1,10,10],[1,4,5],[2,3,6]], k = 7
输出：9
解释：从每一行中选出一个元素，前 k 个和最小的数组分别是：
[1,1,2], [1,1,3], [1,4,2], [1,4,3], [1,1,6], [1,5,2], [1,5,3]。其中第 7 个的和是 9 。 

示例 4：

输入：mat = [[1,1,10],[2,2,9]], k = 7
输出：12

 

提示：

• m == mat.length
• n == mat.length[i]
• 1 <= m, n <= 40
• 1 <= k <= min(200, n ^ m)
• 1 <= mat[i][j] <= 5000
• mat[i] 是一个非递减数组

解法

方法一：逐行遍历 + 排序

根据题目描述，我们需要找出前 $m$ 行的所有可能数组中的第 $k$ 个最小数组和。

如果我们能够找出前 $m - 1$ 行的所有可能数组中的前 $k$ 个最小数组和，那么我们可以将第 $m$ 行的每个元素与前 $m - 1$ 行的前 $k$ 个最小数组和相加，将得到的所有结果排序后，取前 $k$ 个最小值，即为前 $m$ 行的所有可能数组中的前 $k$ 个最小值。

因此，我们可以定义一个数组 $pre$，用于存储此前遍历到的行的前 $k$ 个最小数组和，初始时 $pre$ 只有一个元素 $0$。

然后，我们遍历 $mat$ 的每一行 $cur$，将 $cur$ 中的每个元素与 $pre$ 中的每个元素相加，将得到的所有结果排序后，取前 $k$ 个最小值作为新的 $pre$。继续遍历下一行，直到遍历完所有行。

最后返回 $pre$ 中的第 $k$ 个数（下标 $k-1$）即可。

时间复杂度 $O(m \times n \times k \times \log (n \times k))$，空间复杂度 $O(n \times k)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵的行数和列数。

class Solution:
  def kthSmallest(self, mat: List[List[int]], k: int) -> int:
    pre = [0]
    for cur in mat:
      pre = sorted(a + b for a in pre for b in cur[:k])[:k]
    return pre[-1]

class Solution {
  public int kthSmallest(int[][] mat, int k) {
    int m = mat.length, n = mat[0].length;
    List<Integer> pre = new ArrayList<>(k);
    List<Integer> cur = new ArrayList<>(n * k);
    pre.add(0);
    for (int[] row : mat) {
      cur.clear();
      for (int a : pre) {
        for (int b : row) {
          cur.add(a + b);
        }
      }
      Collections.sort(cur);
      pre.clear();
      for (int i = 0; i < Math.min(k, cur.size()); ++i) {
        pre.add(cur.get(i));
      }
    }
    return pre.get(k - 1);
  }
}

class Solution {
public:
  int kthSmallest(vector<vector<int>>& mat, int k) {
    int pre[k];
    int cur[mat[0].size() * k];
    memset(pre, 0, sizeof pre);
    int size = 1;
    for (auto& row : mat) {
      int i = 0;
      for (int j = 0; j < size; ++j) {
        for (int& v : row) {
          cur[i++] = pre[j] + v;
        }
      }
      sort(cur, cur + i);
      size = min(i, k);
      for (int j = 0; j < size; ++j) {
        pre[j] = cur[j];
      }
    }
    return pre[k - 1];
  }
};

func kthSmallest(mat [][]int, k int) int {
  pre := []int{0}
  for _, row := range mat {
    cur := []int{}
    for _, a := range pre {
      for _, b := range row {
        cur = append(cur, a+b)
      }
    }
    sort.Ints(cur)
    pre = cur[:min(k, len(cur))]
  }
  return pre[k-1]
}

function kthSmallest(mat: number[][], k: number): number {
  let pre: number[] = [0];
  for (const cur of mat) {
    const next: number[] = [];
    for (const a of pre) {
      for (const b of cur) {
        next.push(a + b);
      }
    }
    pre = next.sort((a, b) => a - b).slice(0, k);
  }
  return pre[k - 1];
}