Question

1473. 粉刷房子 III

English Version

题目描述

在一个小城市里，有 m 个房子排成一排，你需要给每个房子涂上 n 种颜色之一（颜色编号为 1 到 n ）。有的房子去年夏天已经涂过颜色了，所以这些房子不可以被重新涂色。

我们将连续相同颜色尽可能多的房子称为一个街区。（比方说 houses = [1,2,2,3,3,2,1,1] ，它包含 5 个街区  [{1}, {2,2}, {3,3}, {2}, {1,1}] 。）

给你一个数组 houses ，一个 m * n 的矩阵 cost 和一个整数 target ，其中：

• houses[i]：是第 i 个房子的颜色，0 表示这个房子还没有被涂色。
• cost[i][j]：是将第 i 个房子涂成颜色 j+1 的花费。

请你返回房子涂色方案的最小总花费，使得每个房子都被涂色后，恰好组成 target 个街区。如果没有可用的涂色方案，请返回 -1 。

 

示例 1：

输入：houses = [0,0,0,0,0], cost = [[1,10],[10,1],[10,1],[1,10],[5,1]], m = 5, n = 2, target = 3
输出：9
解释：房子涂色方案为 [1,2,2,1,1]
此方案包含 target = 3 个街区，分别是 [{1}, {2,2}, {1,1}]。
涂色的总花费为 (1 + 1 + 1 + 1 + 5) = 9。

示例 2：

输入：houses = [0,2,1,2,0], cost = [[1,10],[10,1],[10,1],[1,10],[5,1]], m = 5, n = 2, target = 3
输出：11
解释：有的房子已经被涂色了，在此基础上涂色方案为 [2,2,1,2,2]
此方案包含 target = 3 个街区，分别是 [{2,2}, {1}, {2,2}]。
给第一个和最后一个房子涂色的花费为 (10 + 1) = 11。

示例 3：

输入：houses = [0,0,0,0,0], cost = [[1,10],[10,1],[1,10],[10,1],[1,10]], m = 5, n = 2, target = 5
输出：5

示例 4：

输入：houses = [3,1,2,3], cost = [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]], m = 4, n = 3, target = 3
输出：-1
解释：房子已经被涂色并组成了 4 个街区，分别是 [{3},{1},{2},{3}] ，无法形成 target = 3 个街区。

 

提示：

• m == houses.length == cost.length
• n == cost[i].length
• 1 <= m <= 100
• 1 <= n <= 20
• 1 <= target <= m
• 0 <= houses[i] <= n
• 1 <= cost[i][j] <= 10^4

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j][k]$ 表示将下标 $[0,..i]$ 的房子涂上颜色，最后一个房子的颜色为 $j$，且恰好形成 $k$ 个街区的最小花费。那么答案就是 $f[m-1][j][target]$，其中 $j$ 的取值范围为 $[1,..n]$。初始时，我们判断下标为 $0$ 的房子是否已经涂色，如果未涂色，那么 $f[0][j][1] = cost[0][j - 1]$，其中 $j \in [1,..n]$。如果已经涂色，那么 $f[0][houses[0]][1] = 0$。其他的 $f[i][j][k]$ 的值都初始化为 $\infty$。

接下来，我们从下标 $i=1$ 开始遍历，对于每个 $i$，我们判断下标为 $i$ 的房子是否已经涂色：

如果未涂色，那么我们可以将下标为 $i$ 的房子涂成颜色 $j$，我们枚举街区的数量 $k$，其中 $k \in [1,..min(target, i + 1)]$，并且枚举下标为 $i$ 的房子的前一个房子的颜色 $j_0$，其中 $j_0 \in [1,..n]$，那么我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i][j][k] = \min_{j_0 \in [1,..n]} { f[i - 1][j_0][k - (j \neq j_0)] + cost[i][j - 1] } $$

如果已经涂色，那么我们可以将下标为 $i$ 的房子涂成颜色 $j$，我们枚举街区的数量 $k$，其中 $k \in [1,..min(target, i + 1)]$，并且枚举下标为 $i$ 的房子的前一个房子的颜色 $j_0$，其中 $j_0 \in [1,..n]$，那么我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i][j][k] = \min_{j_0 \in [1,..n]} { f[i - 1][j_0][k - (j \neq j_0)] } $$

最后，我们返回 $f[m - 1][j][target]$，其中 $j \in [1,..n]$，如果所有的 $f[m - 1][j][target]$ 的值都为 $\infty$，那么返回 $-1$。

时间复杂度 $O(m \times n^2 \times target)$，空间复杂度 $O(m \times n \times target)$。其中 $m$, $n$, $target$ 分别为房子的数量，颜色的数量，街区的数量。

class Solution:
  def minCost(
    self, houses: List[int], cost: List[List[int]], m: int, n: int, target: int
  ) -> int:
    f = [[[inf] * (target + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(m)]
    if houses[0] == 0:
      for j, c in enumerate(cost[0], 1):
        f[0][j][1] = c
    else:
      f[0][houses[0]][1] = 0
    for i in range(1, m):
      if houses[i] == 0:
        for j in range(1, n + 1):
          for k in range(1, min(target + 1, i + 2)):
            for j0 in range(1, n + 1):
              if j == j0:
                f[i][j][k] = min(
                  f[i][j][k], f[i - 1][j][k] + cost[i][j - 1]
                )
              else:
                f[i][j][k] = min(
                  f[i][j][k], f[i - 1][j0][k - 1] + cost[i][j - 1]
                )
      else:
        j = houses[i]
        for k in range(1, min(target + 1, i + 2)):
          for j0 in range(1, n + 1):
            if j == j0:
              f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i - 1][j][k])
            else:
              f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i - 1][j0][k - 1])

    ans = min(f[-1][j][target] for j in range(1, n + 1))
    return -1 if ans >= inf else ans

class Solution {
  public int minCost(int[] houses, int[][] cost, int m, int n, int target) {
    int[][][] f = new int[m][n + 1][target + 1];
    final int inf = 1 << 30;
    for (int[][] g : f) {
      for (int[] e : g) {
        Arrays.fill(e, inf);
      }
    }
    if (houses[0] == 0) {
      for (int j = 1; j <= n; ++j) {
        f[0][j][1] = cost[0][j - 1];
      }
    } else {
      f[0][houses[0]][1] = 0;
    }
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      if (houses[i] == 0) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
          for (int k = 1; k <= Math.min(target, i + 1); ++k) {
            for (int j0 = 1; j0 <= n; ++j0) {
              if (j == j0) {
                f[i][j][k] = Math.min(f[i][j][k], f[i - 1][j][k] + cost[i][j - 1]);
              } else {
                f[i][j][k]
                  = Math.min(f[i][j][k], f[i - 1][j0][k - 1] + cost[i][j - 1]);
              }
            }
          }
        }
      } else {
        int j = houses[i];
        for (int k = 1; k <= Math.min(target, i + 1); ++k) {
          for (int j0 = 1; j0 <= n; ++j0) {
            if (j == j0) {
              f[i][j][k] = Math.min(f[i][j][k], f[i - 1][j][k]);
            } else {
              f[i][j][k] = Math.min(f[i][j][k], f[i - 1][j0][k - 1]);
            }
          }
        }
      }
    }
    int ans = inf;
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
      ans = Math.min(ans, f[m - 1][j][target]);
    }
    return ans >= inf ? -1 : ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int minCost(vector<int>& houses, vector<vector<int>>& cost, int m, int n, int target) {
    int f[m][n + 1][target + 1];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    if (houses[0] == 0) {
      for (int j = 1; j <= n; ++j) {
        f[0][j][1] = cost[0][j - 1];
      }
    } else {
      f[0][houses[0]][1] = 0;
    }
    for (int i = 1; i < m; ++i) {
      if (houses[i] == 0) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
          for (int k = 1; k <= min(target, i + 1); ++k) {
            for (int j0 = 1; j0 <= n; ++j0) {
              if (j == j0) {
                f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i - 1][j][k] + cost[i][j - 1]);
              } else {
                f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i - 1][j0][k - 1] + cost[i][j - 1]);
              }
            }
          }
        }
      } else {
        int j = houses[i];
        for (int k = 1; k <= min(target, i + 1); ++k) {
          for (int j0 = 1; j0 <= n; ++j0) {
            if (j == j0) {
              f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i - 1][j][k]);
            } else {
              f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i - 1][j0][k - 1]);
            }
          }
        }
      }
    }
    int ans = 0x3f3f3f3f;
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
      ans = min(ans, f[m - 1][j][target]);
    }
    return ans == 0x3f3f3f3f ? -1 : ans;
  }
};

func minCost(houses []int, cost [][]int, m int, n int, target int) int {
  f := make([][][]int, m)
  const inf = 1 << 30
  for i := range f {
    f[i] = make([][]int, n+1)
    for j := range f[i] {
      f[i][j] = make([]int, target+1)
      for k := range f[i][j] {
        f[i][j][k] = inf
      }
    }
  }
  if houses[0] == 0 {
    for j := 1; j <= n; j++ {
      f[0][j][1] = cost[0][j-1]
    }
  } else {
    f[0][houses[0]][1] = 0
  }
  for i := 1; i < m; i++ {
    if houses[i] == 0 {
      for j := 1; j <= n; j++ {
        for k := 1; k <= target && k <= i+1; k++ {
          for j0 := 1; j0 <= n; j0++ {
            if j == j0 {
              f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i-1][j][k]+cost[i][j-1])
            } else {
              f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i-1][j0][k-1]+cost[i][j-1])
            }
          }
        }
      }
    } else {
      j := houses[i]
      for k := 1; k <= target && k <= i+1; k++ {
        for j0 := 1; j0 <= n; j0++ {
          if j == j0 {
            f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i-1][j][k])
          } else {
            f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i-1][j0][k-1])
          }
        }
      }
    }
  }
  ans := inf
  for j := 1; j <= n; j++ {
    ans = min(ans, f[m-1][j][target])
  }
  if ans == inf {
    return -1
  }
  return ans
}

function minCost(houses: number[], cost: number[][], m: number, n: number, target: number): number {
  const inf = 1 << 30;
  const f: number[][][] = new Array(m)
    .fill(0)
    .map(() => new Array(n + 1).fill(0).map(() => new Array(target + 1).fill(inf)));
  if (houses[0] === 0) {
    for (let j = 1; j <= n; ++j) {
      f[0][j][1] = cost[0][j - 1];
    }
  } else {
    f[0][houses[0]][1] = 0;
  }
  for (let i = 1; i < m; ++i) {
    if (houses[i] === 0) {
      for (let j = 1; j <= n; ++j) {
        for (let k = 1; k <= Math.min(target, i + 1); ++k) {
          for (let j0 = 1; j0 <= n; ++j0) {
            if (j0 === j) {
              f[i][j][k] = Math.min(f[i][j][k], f[i - 1][j][k] + cost[i][j - 1]);
            } else {
              f[i][j][k] = Math.min(f[i][j][k], f[i - 1][j0][k - 1] + cost[i][j - 1]);
            }
          }
        }
      }
    } else {
      const j = houses[i];
      for (let k = 1; k <= Math.min(target, i + 1); ++k) {
        for (let j0 = 1; j0 <= n; ++j0) {
          if (j0 === j) {
            f[i][j][k] = Math.min(f[i][j][k], f[i - 1][j][k]);
          } else {
            f[i][j][k] = Math.min(f[i][j][k], f[i - 1][j0][k - 1]);
          }
        }
      }
    }
  }
  let ans = inf;
  for (let j = 1; j <= n; ++j) {
    ans = Math.min(ans, f[m - 1][j][target]);
  }
  return ans >= inf ? -1 : ans;
}