Question

918. 环形子数组的最大和

English Version

题目描述

给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回_ nums 的非空 子数组 的最大可能和 _。

环形数组_ _意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。

子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], ..., nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。

 

示例 1：

输入：nums = [1,-2,3,-2]
输出：3
解释：从子数组 [3] 得到最大和 3

示例 2：

输入：nums = [5,-3,5]
输出：10
解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10

示例 3：

输入：nums = [3,-2,2,-3]
输出：3
解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3

 

提示：

• n == nums.length
• 1 <= n <= 3 * 104
• -3 * 104 <= nums[i] <= 3 * 104​​​​​​​

解法

方法一：维护前缀最值

求环形子数组的最大和，可以分为两种情况：

• 情况一：最大和的子数组不包含环形部分，即为普通的最大子数组和；
• 情况二：最大和的子数组包含环形部分，我们可以转换为：求数组总和减去最小子数组和。

因此，我们维护以下几个变量：

• 前缀和最小值 $pmi$，初始值为 $0$；
• 前缀和最大值 $pmx$，初始值为 $-\infty$；
• 前缀和 $s$，初始值为 $0$；
• 最小子数组和 $smi$，初始值为 $\infty$；
• 答案 $ans$，初始值为 $-\infty$。

接下来，我们只需要遍历数组 $nums$，对于当前遍历到的元素 $x$，我们做以下更新操作：

• 更新前缀和 $s = s + x$；
• 更新答案 $ans = \max(ans, s - pmi)$，即为情况一的答案（前缀和 $s$ 减去最小前缀和 $pmi$，可以得到最大子数组和）；
• 更新 $smi = \min(smi, s - pmx)$，即为情况二的最小子数组和；
• 更新 $pmi = \min(pmi, s)$，即为最小前缀和；
• 更新 $pmx = \max(pmx, s)$，即为最大前缀和。

遍历结束，我们取 $ans$ 以及 $s - smi$ 的最大值作为答案返回即可。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为数组长度。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def maxSubarraySumCircular(self, nums: List[int]) -> int:
    s1 = s2 = f1 = f2 = nums[0]
    for num in nums[1:]:
      f1 = num + max(f1, 0)
      f2 = num + min(f2, 0)
      s1 = max(s1, f1)
      s2 = min(s2, f2)
    return s1 if s1 <= 0 else max(s1, sum(nums) - s2)

class Solution {
  public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) {
    int s1 = nums[0], s2 = nums[0], f1 = nums[0], f2 = nums[0], total = nums[0];
    for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
      total += nums[i];
      f1 = nums[i] + Math.max(f1, 0);
      f2 = nums[i] + Math.min(f2, 0);
      s1 = Math.max(s1, f1);
      s2 = Math.min(s2, f2);
    }
    return s1 > 0 ? Math.max(s1, total - s2) : s1;
  }
}

class Solution {
public:
  int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {
    int s1 = nums[0], s2 = nums[0], f1 = nums[0], f2 = nums[0], total = nums[0];
    for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
      total += nums[i];
      f1 = nums[i] + max(f1, 0);
      f2 = nums[i] + min(f2, 0);
      s1 = max(s1, f1);
      s2 = min(s2, f2);
    }
    return s1 > 0 ? max(s1, total - s2) : s1;
  }
};

func maxSubarraySumCircular(nums []int) int {
  s1, s2, f1, f2, total := nums[0], nums[0], nums[0], nums[0], nums[0]
  for i := 1; i < len(nums); i++ {
    total += nums[i]
    f1 = nums[i] + max(f1, 0)
    f2 = nums[i] + min(f2, 0)
    s1 = max(s1, f1)
    s2 = min(s2, f2)
  }
  if s1 <= 0 {
    return s1
  }
  return max(s1, total-s2)
}

function maxSubarraySumCircular(nums: number[]): number {
  let pre1 = nums[0],
    pre2 = nums[0];
  let ans1 = nums[0],
    ans2 = nums[0];
  let sum = nums[0];

  for (let i = 1; i < nums.length; ++i) {
    let cur = nums[i];
    sum += cur;
    pre1 = Math.max(pre1 + cur, cur);
    ans1 = Math.max(pre1, ans1);

    pre2 = Math.min(pre2 + cur, cur);
    ans2 = Math.min(pre2, ans2);
  }
  return ans1 > 0 ? Math.max(ans1, sum - ans2) : ans1;
}

方法二

class Solution:
  def maxSubarraySumCircular(self, nums: List[int]) -> int:
    pmi, pmx = 0, -inf
    ans, s, smi = -inf, 0, inf
    for x in nums:
      s += x
      ans = max(ans, s - pmi)
      smi = min(smi, s - pmx)
      pmi = min(pmi, s)
      pmx = max(pmx, s)
    return max(ans, s - smi)

class Solution {
  public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) {
    final int inf = 1 << 30;
    int pmi = 0, pmx = -inf;
    int ans = -inf, s = 0, smi = inf;
    for (int x : nums) {
      s += x;
      ans = Math.max(ans, s - pmi);
      smi = Math.min(smi, s - pmx);
      pmi = Math.min(pmi, s);
      pmx = Math.max(pmx, s);
    }
    return Math.max(ans, s - smi);
  }
}

class Solution {
public:
  int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {
    const int inf = 1 << 30;
    int pmi = 0, pmx = -inf;
    int ans = -inf, s = 0, smi = inf;
    for (int x : nums) {
      s += x;
      ans = max(ans, s - pmi);
      smi = min(smi, s - pmx);
      pmi = min(pmi, s);
      pmx = max(pmx, s);
    }
    return max(ans, s - smi);
  }
};

func maxSubarraySumCircular(nums []int) int {
  const inf = 1 << 30
  pmi, pmx := 0, -inf
  ans, s, smi := -inf, 0, inf
  for _, x := range nums {
    s += x
    ans = max(ans, s-pmi)
    smi = min(smi, s-pmx)
    pmi = min(pmi, s)
    pmx = max(pmx, s)
  }
  return max(ans, s-smi)
}

function maxSubarraySumCircular(nums: number[]): number {
  const inf = 1 << 30;
  let [pmi, pmx] = [0, -inf];
  let [ans, s, smi] = [-inf, 0, inf];
  for (const x of nums) {
    s += x;
    ans = Math.max(ans, s - pmi);
    smi = Math.min(smi, s - pmx);
    pmi = Math.min(pmi, s);
    pmx = Math.max(pmx, s);
  }
  return Math.max(ans, s - smi);
}