Question

2430. 对字母串可执行的最大删除数

English Version

题目描述

给你一个仅由小写英文字母组成的字符串 s 。在一步操作中，你可以：

• 删除 整个字符串 s ，或者
• 对于满足 1 <= i <= s.length / 2 的任意 i ，如果 s 中的 前 i 个字母和接下来的 i 个字母 相等 ，删除 前 i 个字母。

例如，如果 s = "ababc" ，那么在一步操作中，你可以删除 s 的前两个字母得到 "abc" ，因为 s 的前两个字母和接下来的两个字母都等于 "ab" 。

返回删除 s 所需的最大操作数。

 

示例 1：

输入：s = "abcabcdabc"
输出：2
解释：
- 删除前 3 个字母（"abc"），因为它们和接下来 3 个字母相等。现在，s = "abcdabc"。
- 删除全部字母。
一共用了 2 步操作，所以返回 2 。可以证明 2 是所需的最大操作数。
注意，在第二步操作中无法再次删除 "abc" ，因为 "abc" 的下一次出现并不是位于接下来的 3 个字母。

示例 2：

输入：s = "aaabaab"
输出：4
解释：
- 删除第一个字母（"a"），因为它和接下来的字母相等。现在，s = "aabaab"。
- 删除前 3 个字母（"aab"），因为它们和接下来 3 个字母相等。现在，s = "aab"。 
- 删除第一个字母（"a"），因为它和接下来的字母相等。现在，s = "ab"。
- 删除全部字母。
一共用了 4 步操作，所以返回 4 。可以证明 4 是所需的最大操作数。

示例 3：

输入：s = "aaaaa"
输出：5
解释：在每一步操作中，都可以仅删除 s 的第一个字母。

 

提示：

• 1 <= s.length <= 4000
• s 仅由小写英文字母组成

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i)$，表示删除 $s[i..]$ 所有字符所需的最大操作数，那么答案就是 $dfs(0)$。

函数 $dfs(i)$ 的计算过程如下：

• 如果 $i \geq n$，那么 $dfs(i) = 0$，直接返回。
• 否则，我们枚举字符串的长度 $j$，其中 $1 \leq j \leq (n-1)/2$，如果 $s[i..i+j] = s[i+j..i+j+j]$，那么我们可以删除 $s[i..i+j]$，此时 $dfs(i)=max(dfs(i), dfs(i+j)+1)$。我们需要枚举所有的 $j$，求 $dfs(i)$ 的最大值即可。

这里我们需要快速判断 $s[i..i+j]$ 与 $s[i+j..i+j+j]$ 是否相等，我们可以预处理出字符串 $s$ 的所有最长公共前缀，即 $g[i][j]$ 表示 $s[i..]$ 与 $s[j..]$ 的最长公共前缀的长度。这样我们就可以快速判断 $s[i..i+j]$ 与 $s[i+j..i+j+j]$ 是否相等，即 $g[i][i+j] \geq j$。

为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索，用一个数组 $f$ 记录函数 $dfs(i)$ 的值。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 是字符串 $s$ 的长度。

class Solution:
  def deleteString(self, s: str) -> int:
    @cache
    def dfs(i: int) -> int:
      if i == n:
        return 0
      ans = 1
      for j in range(1, (n - i) // 2 + 1):
        if s[i : i + j] == s[i + j : i + j + j]:
          ans = max(ans, 1 + dfs(i + j))
      return ans

    n = len(s)
    return dfs(0)

class Solution {
  private int n;
  private Integer[] f;
  private int[][] g;

  public int deleteString(String s) {
    n = s.length();
    f = new Integer[n];
    g = new int[n + 1][n + 1];
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
          g[i][j] = g[i + 1][j + 1] + 1;
        }
      }
    }
    return dfs(0);
  }

  private int dfs(int i) {
    if (i == n) {
      return 0;
    }
    if (f[i] != null) {
      return f[i];
    }
    f[i] = 1;
    for (int j = 1; j <= (n - i) / 2; ++j) {
      if (g[i][i + j] >= j) {
        f[i] = Math.max(f[i], 1 + dfs(i + j));
      }
    }
    return f[i];
  }
}

class Solution {
public:
  int deleteString(string s) {
    int n = s.size();
    int g[n + 1][n + 1];
    memset(g, 0, sizeof(g));
    for (int i = n - 1; ~i; --i) {
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        if (s[i] == s[j]) {
          g[i][j] = g[i + 1][j + 1] + 1;
        }
      }
    }
    int f[n];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    function<int(int)> dfs = [&](int i) -> int {
      if (i == n) {
        return 0;
      }
      if (f[i]) {
        return f[i];
      }
      f[i] = 1;
      for (int j = 1; j <= (n - i) / 2; ++j) {
        if (g[i][i + j] >= j) {
          f[i] = max(f[i], 1 + dfs(i + j));
        }
      }
      return f[i];
    };
    return dfs(0);
  }
};

func deleteString(s string) int {
  n := len(s)
  g := make([][]int, n+1)
  for i := range g {
    g[i] = make([]int, n+1)
  }
  for i := n - 1; i >= 0; i-- {
    for j := i + 1; j < n; j++ {
      if s[i] == s[j] {
        g[i][j] = g[i+1][j+1] + 1
      }
    }
  }
  f := make([]int, n)
  var dfs func(int) int
  dfs = func(i int) int {
    if i == n {
      return 0
    }
    if f[i] > 0 {
      return f[i]
    }
    f[i] = 1
    for j := 1; j <= (n-i)/2; j++ {
      if g[i][i+j] >= j {
        f[i] = max(f[i], dfs(i+j)+1)
      }
    }
    return f[i]
  }
  return dfs(0)
}

function deleteString(s: string): number {
  const n = s.length;
  const f: number[] = new Array(n).fill(0);
  const dfs = (i: number): number => {
    if (i == n) {
      return 0;
    }
    if (f[i] > 0) {
      return f[i];
    }
    f[i] = 1;
    for (let j = 1; j <= (n - i) >> 1; ++j) {
      if (s.slice(i, i + j) == s.slice(i + j, i + j + j)) {
        f[i] = Math.max(f[i], dfs(i + j) + 1);
      }
    }
    return f[i];
  };
  return dfs(0);
}

方法二：动态规划

我们可以将方法一的记忆化搜索改为动态规划，定义 $f[i]$ 表示删除 $s[i..]$ 所有字符所需的最大操作数，初始时 $f[i]=1$，答案为 $f[0]$。

我们可以从后往前枚举 $i$，对于每个 $i$，我们枚举字符串的长度 $j$，其中 $1 \leq j \leq (n-1)/2$，如果 $s[i..i+j] = s[i+j..i+j+j]$，那么我们可以删除 $s[i..i+j]$，此时 $f[i]=max(f[i], f[i+j]+1)$。我们需要枚举所有的 $j$，求 $f[i]$ 的最大值即可。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是字符串 $s$ 的长度。

class Solution:
  def deleteString(self, s: str) -> int:
    n = len(s)
    g = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n - 1, -1, -1):
      for j in range(i + 1, n):
        if s[i] == s[j]:
          g[i][j] = g[i + 1][j + 1] + 1

    f = [1] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
      for j in range(1, (n - i) // 2 + 1):
        if g[i][i + j] >= j:
          f[i] = max(f[i], f[i + j] + 1)
    return f[0]

class Solution {
  public int deleteString(String s) {
    int n = s.length();
    int[][] g = new int[n + 1][n + 1];
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
          g[i][j] = g[i + 1][j + 1] + 1;
        }
      }
    }
    int[] f = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
      f[i] = 1;
      for (int j = 1; j <= (n - i) / 2; ++j) {
        if (g[i][i + j] >= j) {
          f[i] = Math.max(f[i], f[i + j] + 1);
        }
      }
    }
    return f[0];
  }
}

class Solution {
public:
  int deleteString(string s) {
    int n = s.size();
    int g[n + 1][n + 1];
    memset(g, 0, sizeof(g));
    for (int i = n - 1; ~i; --i) {
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        if (s[i] == s[j]) {
          g[i][j] = g[i + 1][j + 1] + 1;
        }
      }
    }
    int f[n];
    for (int i = n - 1; ~i; --i) {
      f[i] = 1;
      for (int j = 1; j <= (n - i) / 2; ++j) {
        if (g[i][i + j] >= j) {
          f[i] = max(f[i], f[i + j] + 1);
        }
      }
    }
    return f[0];
  }
};

func deleteString(s string) int {
  n := len(s)
  g := make([][]int, n+1)
  for i := range g {
    g[i] = make([]int, n+1)
  }
  for i := n - 1; i >= 0; i-- {
    for j := i + 1; j < n; j++ {
      if s[i] == s[j] {
        g[i][j] = g[i+1][j+1] + 1
      }
    }
  }
  f := make([]int, n)
  for i := n - 1; i >= 0; i-- {
    f[i] = 1
    for j := 1; j <= (n-i)/2; j++ {
      if g[i][i+j] >= j {
        f[i] = max(f[i], f[i+j]+1)
      }
    }
  }
  return f[0]
}

function deleteString(s: string): number {
  const n = s.length;
  const f: number[] = new Array(n).fill(1);
  for (let i = n - 1; i >= 0; --i) {
    for (let j = 1; j <= (n - i) >> 1; ++j) {
      if (s.slice(i, i + j) === s.slice(i + j, i + j + j)) {
        f[i] = Math.max(f[i], f[i + j] + 1);
      }
    }
  }
  return f[0];
}